enfuite de l'autre yy. ttxx:: p. 2 t. L'on tire yy=cc ccxx, & y y = ÷ p t _ *. Or comme cette proprieté &yy=pt

tt

convient également à tous les points de l'Ellipfe, & qu'elle en détermine la pofition par rapport aux deux axes conjugués Aa, Bb; il s'enfuit que l'équation yy =cc- ccxx, ou y y = = pt, exprime parfaitement

tt

la nature de l'Ellipfe par rapport à fes axes.

I

COROLLAIRE III.

42. Si l'on mene deux ordonnées quelconques MP NQ à l'axe A a; leurs quarrés feront entr'eux comme les rectangles AP Pa, AQQa, des parties de cet axe, faites par la rencontre de ces mêmes ordonnées

Gar* Bb. Aa :: PM.AP* Pa:: QN.AQQa. Et * Art. 39. partant P M2. QN° :: A·P * P a. A· Q ·× Qa.

COROLLAIRE IV..

43. Si l'on mene par un point quelconque P de l'un des axes conjugués Aa, une parallele MM à l'autre axe Bb, elle rencontrera l'Ellipfe en deux points M, M., également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M, M, foient à l'Ellipfe, il faut que les quarrés de P M (y) prise de part & Art' 43. d'autre de l'axe Aa, foient égaux chacun à la même. quantité cccxx

Čar

tt.

COROLLAIRE V.

44. IL fuit de ce que * yy = cc_cc;

ccxx.
tt

, que plus CP* Art. 41.

(x) prise de part & d'autre du centre C augmente
plus chaque ordonnée P M (y) prise de part & d'autre
de l'un ou de l'autre axe Aa, diminuë; de forte
de forte que CP (x)
étant égale à CA ou Ca (t), chaque P M (y) devient
alors nulle ou zero: & qu'au contraire plus CP (x) de-.
vient petite, plus auffi chaque ordonnée PM (y) prife

D

* Art. 41.

de part & d'autre de l'axe A a augmente; de forte que CP (x) devenant zero, chaque PM (y), qui eft alors CB ou cb(c), fera la plus grande des ordonnées. D'où il est clair.

1o. Que fi l'on mene par les extremités B, b, de l'un des axes conjugués, des paralleles à l'autre ; elles feront tangentes en ces points.

2°. Que l'Ellipfe s'éloigne de part & d'autre de plus en plus de l'un ou de l'autre axe Aa, en commençant par l'extremité A; jufqu'à ce qu'elle rencontre fon conjugué Bb, après quoi elle va toûjours en s'approchant du même axe A a, jufqu'à ce qu'elle le rencontre en fon autre extremité a.

COROLLAIRE VI.

tt

45. IL fuit encore de ce que *yy-cc****, que fi l'on prend les points P, P, également éloignés de part & d'autre du centre C; les ordonnées PM, PM, feront égales. D'où il est évident que fi une ligne quelconque MM, terminée par l'Ellipfe, eft coupée en deux également par l'un des axes conjugués Bb en un point K autre que le centre 3 elle fera parallele à l'autre A a. Car menant les paralleles MP, MP, à l'axe Bb, la ligne PP fera divifée par le milieu en C, puifque MM l'eft en K; & partant les ordonnées PM, PM feront égales. La droite M M fera donc parallele à l'axe A a.

I

COROLLAIRE VII.

46. Si l'on conçoit que le plan fur lequel l'Ellipfe eft tracée, foit plié le long d'un des axes Bb, en forte que fes deux parties fe joignent; il est clair que les deux demi-Ellipfes BA b, Bab, tomberont exactement l'une fur l'autre, fçavoir, les points A, M, &c. fura, M, &c. puif* Art. 45. que * toutes les perpendiculaires Aa, MM,&c. à cet axe, font coupées par le milieu aux points C, K, &c. D'où il est vifible que l'Ellipfe eft coupée par les deux axes en qua

tre portions parfaitement égales & uniformes, qui ne different entr'elles que par leur fituation.

PROPOSITION III.

I

Theorême.

47. Si l'on mene par l'une des extremités A de l'un des axes Aa, une ligne droite quelconque A M dans l'un des angles a AL,aAL, faites par cet axe, & par la ligne LAL Parallele à fon conjugué Bb; je dis qu'elle rencontrera l'Ellipfe en un autre point M.

Ayant pris fur AL de part ou d'autre du point A, FIG. 20. la partie AG égale au parametre p de l'axe Aa, & tiré GF parallele à cet axe, & qui rencontre la ligne AM (prolongée, s'il eft neceffaire) au point F, on prendra fur la ligne AL du même côté où tombe la ligne A M par rapport à l'axe Aa, la partie AL égale à GF, & ayant tiré par l'autre extremité a de l'axe A a la droite a L; je dis que le point M où elle coupe la ligne A M, eft à l'Elliple MÃ M.

ay

Car menant MP parallele à AL, & nommant les connuës Aa, 2t; AG, p; GF ou A L, a ; & les inconnuës C P ̧ x ; P M‚y; les triangles semblables AG F, MPA, & LAa, MPa, donneront AG (p) GF (a) :: MP (y). AP (t±x)=2. Et AL (a). A a (2t) :: PM (y). a P (t = x)=2. Et par confequent on aura toûjours AP× Pa (tt—xx), foit que le point P tombe au deffus ou au deffous du centre C d'où l'on tire yy=

P

P

pt. La ligne PM fera donc

une ordonnée à l'axe * Art. 41.

Aa; & partant le point M fera à l'Ellipfe MAM. qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

Ce

48. DE-LA on voit comment un axe Aa d'une Ellipfe M A M étant donné avec fon parametre p, &

FIG. 20.

ayant

l'une des extremités A de cet axe, une mené par ligne droite quelconque AM dans l'un ou l'autre des angles aAL, a AL, fait par cet axe, & par la ligne LAL parallele à fon conjugué Bb, on voit, dis-je, ce qu'il faut faire pour trouver fur cette ligne le point M où elle rencontre l'Ellipfe MA M.

L

COROLLAIRE II.

ра

49. Il est évident qu'il n'y a que la ligne LAL rallele à l'axe Bb, qui puiffe être tangente de l'Ellipse M A M au point A, l'une des extremités de fon conjugué A a; puifqu'il n'y a que cette feule ligne, qui paffant par le point A, & étant continuée de part & d'autre, ne la rencontre en aucun point, & n'entre pas dedans.

PROPOSITION IV.

Theorême.

50. Tous les diametres comme MCm, font coupés en deux également par le centre C, & ils ne rencontrent l'Ellipfe qu'en deux points M, m.

*

Ayant mené l'ordonnée M P, & pris cp égale à C P, fi l'on mene la perpendiculaire pm terminée en m par la droite M Cm ; il eft évident que les triangles CPM, Cpm font femblables & égaux, & qu'ainfi CM est égale * Art. 45. à Cm, & Pm à pm. Or comme les ordonnées qui font également éloignées de part & d'autre du centre C, font égales entr'elles, & que P M eft une ordonnée, il s'enfuit que pm fera auffi une ordonnée ; & par confequent que le point m eft à l'Ellipfe.

De plus il eft vifible que fi l'on imagine une parallele à l'axe Bb, qui fe meuve de C vers ; la partie de cette parallele renfermée dans l'angle AC M, ira toûjours en augmentant à mefure que CP croît, & qu'au contraire la partie de cette parallele renfermée. entre le quart d'Ellipse AMB & l'axe CA, c'est à dire, l'ordon

née PM* ira toûjours en diminuant; d'où il fuit que * Art. 44.
la ligne droite CM, qui paffe par le centre, ne rencon-
tre l'Ellipfe qu'en un point M du même côté de l'axe,
& il en est de même pour le point m pris de l'autre côté.
Donc &c.

DEFINITION S.

II.

Si l'on mene par un point quelconque M de l'Ellipfe, FIG. 21, 22. un diametre M Cm, une ordonnée M P à l'un ou l'autre axe Aa, & une ligne droite MT, en forte que CT foit troifiéme proportionnelle à CP, CA; le diametre SC s parallele a MT, eft appellé Diametre conjugué au diametre Mm; Et réciproquement le diametre M m eft dit conjugué au diametre Ss: de forte que les deux enfemble font appellés Diametres conjugués.

12.

Toutes les lignes droites menées des points de l'Ellip-
fe parallelement à l'un de ces deux diametres, & termi-
nées par
l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre,
Ainfi NO parallele au diametre Ss, est Ordonnée à son
conjugué M m.

13.

La troifiéme proportionnelle à deux diametres conjugués, eft appellée Parametre du premier de la proportion. Ainfi la troifiéme proportionnelle à Mm, Ss, esț appellée Parametre du diametre Mm.

COROLLAIRE,

51. Si l'on nomme la donnée CA, t; & les indéterminées CP, x; PT, s ; il est clair, felon la défini tion 11c que CT (x+s) = ; & qu'ainfi sx➡tt➡xx -AP Pa.

tt

2