23.

* Art. 22. les restes CMK,TMP, feront égaux. Donc TP* (2x). PM (y) :: CR (b-y). KM (a+x), d'où l'on forme en multipliant les extrêmes & les moyens cette équation yy - by + 2xx + 24x = 0, dont le lieu qui est * Art. 322. celui qu'on demande est * une Eltipse que l'on construit* *Art. 324. en cette forte.

Ayant mené AD = 6 perpendiculaire à AP & du côté de PM, & tiré la droite indefinie DL parallele à AP, on prendra sur cette ligne la partie DE =÷a du côté opposé à PM; & de part & d'autre du point & les parties EF, EG égales chacune à Vaa+bb. Enfuite de l'axe FG qui ait pour parametre une ligne G H double de FG, on décrira une Ellipse. Je dis que sa portion AMO renfermée dans l'angle PAD est le lieu de l'équation precedente; & par consequent de tous les points cherchés M, lorsqu'ils tombent dans cet angle.

Car prolongeant PM, s'il est necessaire, jusqu'à ce qu'elle rencontre l'axe FG en L, on aura l'ordonnée ML=6-y, & EL = a+x, & par la proprieté de l'Ellipse, F L × LG ou EF-EL(bb-ax-xx). IM (bb-by+yy) :: F G. G H :: 1.2; ce qui donne en multipliant les extrêmes & les moyens +66-2ax -2xx=66-by-yy. Donc &c.

Si l'on suppose à present que les points M tombent dans les angles BAD, BAR, on trouvera toûjours la même équation que ci-dessus, tant par la condition du Problême que par la proprieté de l'Ellipse; en observant de faire AP=-x, & PM =-y, lorsque le point P tombe de l'autre côté de l'origine A, & P M., de l'autre côté de la ligne AP. D'où il fuit que les portions de l'Ellipse, que l'on vient de décrire, renfermées dans ces angles font le lieu de ces points.

On doit remarquer qu'il est impossible qu'aucun des points cherchés M, tombe dans l'angle PAR, opposé au sommet à l'angle B A D dans lequel est situé le point donné c, d'où doivent partir toutes les perpendiculaires aux Paraboles. Car fi d'un point quelconque pris dans cet angle PAR, on mene des droites comme M P, MT, perpendiculaires sur AP & CM, il est visible que les points P, T, tomberont du même côté du point A, & par consequent que cette ligne MT ne pourra être tangente en M comme le demande la question.

Si l'on suppose que AP (x) devienne nulle ou zero, l'équation precedente yy - by +2xx+ax = ose chan gera en celle-ci yy-by=o, dont les deux racines sont y=0,&y=6b; ce qui fait voir qu'en tirant A parallele & égale à BC, le lieu des points cherchés M paffera par les deux point A, 0. On prouvera de même en sup. posant que le point IP tombe de l'autre côté de l'origine A, & faisant AP (-x) = AB (a), que ce même lieu passera par les points B, C; de sorte que l'Ellipse doit être décrite autour du rectangle ABCO. Ceci donne lieu à une nouvelle construction que voici.

Soit formé le rectangle ABCO, & foit décrite * autour de ce rectangle une Ellipse, dont l'axe F G parallele aux côtés AB, OC, soit à son parametre GH, comme est à 2. Il est évident qu'elle sera le lieu cherché.

REMARQUE I.

* Art. 176.

353. Si la nature des lignes courbes telles que A M étoit exprimee par l'équation generale y = x* a"-" (les lettres m, n, marquent les exposans des puissances de y & x tels qu'ils puissent être) qui renferme * non seule. * Art. 229. ment la Parabole ordinaire, mais encore celles de tous

les degrés à l'infini; on auroit TP*(x): PM (y) ::

m

m

CK(b—y). KM (a+x) : ce qui donne yy-by+xx +ax=0, dont le lieu qui est celui qu'on cherche, est une Ellipse que l'on construira felon l'article 322. ou bien selon l'article 176. fi l'on observe que cette Ellipfe doit passer autour du rectangle donne ABCO, & que son axe FG parallele aux côtés AB, OC, doit être

* Art. 237. FIG. 191.

FIG. 192.

à fon parametre GH en la raison donnée de m à n.

REMARQUE II.

354. Si le centre E de l'Ellipse qu'on vient de décrire tomboit sur l'origine A de l'axe commun AP de toutes les Paraboles AM ; & l'axe F G de l'Ellipse sur l'axe AP des Paraboles : cette Ellipfe couperoit toutes ces differen. tes Paraboles à angles droits. On peut énoncer ce Theo rême de la maniere qui suit.

Soient une infinité de Paraboles comme AM de tel degré qu'on voudra, qui ayent toutes pour axe commun la même ligne AP, dont l'origine est toûjours au même point 4; & foit une Ellipfe qui ait pour centre le point A, & dont l'axe FG situé sur AP soit a son parametre, comme le nombre m exposant de la puissance de AP (x) est au nombre n exposant de la puissance de PM (y), dans l'équation generale y" = x* a"-" qui exprime la nature des Paraboles A M. Je dis que cette Ellipse coupera toutes ces Paraboles à angles droits.

Par le point M, où elle coupe telle de ces Paraboles qu'on voudra, ayant mené la tangente MT à cette Parabole, & MS perpendiculaire à cette tangente; il est question de prouver que MS touche l'Ellipse au point M. Pour en venir à bout, on tirera la perpendiculaire MP fur l'axe, & ayant nommé les indéterminées AP, x ; PM, y; & la donnée FG, 2t; on aura par la proprieté de l'Ellipse FP PG (tt-xx). PM (yy) :: m. n, & partant myy=ntt—nxx. Or à cause des angles droits TPM,

n

Art. 237. TMS, il vient TP*(x). P M (y) :: P M (y). PS my", & par conséquent AS ou APPS "***my

=

nx tt

x

nx

en mettant pour myy la valeur que l'on vient de trouver ntt-nxx. D'où l'on voit que AP. AF :: AF. AS, * Art. 57. & qu'ainsi * la ligne MS touche l'Ellipse au point M. Ce qu'il falloit &c.

EXEMPLE VI.

355. SOIENT imaginées une infinité d'Hyperboles F 16. 193.

qui ayent toutes pour Asymptotes communes les mêmes droites AP, AO, données de position, qui font entr'elles un angle droit PAO; & foient conçues partir d'un point donné Cune infinité de perpendiculaires comme CM à ces Hyperboles. On demande le lieu de tous les points M, où chacune des droites CM rencontre l'Hyperbole à laquelle elle est perpendiculaire.

Ayant tiré les mêmes lignes que dans l'exemple precedent, & les ayant nommées par les mêmes lettres, on arrivera de même à cette proportion TP *(x). * Art. 107. PM (y) :: CK (b-y). KM (a-x); ce qui donne cette equation yy - by -xx + ax = 0, dont voici * le * Art. 330. lieu.

Ayant pris sur l'Asymptote AO parallele à PM, la partie A D = 6, & mené DL parallele à AP; on prendra fur cette ligne la partie DE =a du côté de PM, & de part & d'autre du point E, les parties EF, EG, égales chacune à Vaabbou baa selon que a est plus grand ou moindre que b. On décrira ensuite de la ligne FG, comme premier axe dans le premier cas, & comme second dans le deuxième, deux Hyperboles opposées équilateres. Je dis que leurs portions renfermées dans l'angle PAO, feront le lieu de cette équation, & par consequent celui de tous les points cherches M.

on 335.

Car prolongeant PM (s'il est necessaire) jusqu'à ce qu'elle rencontre l'axe FG, en L, on aura l'ordonnée ML6-y, & la partie E L = x-a; &* par la * Art. 127. proprieté des Hyperboles équilateres EL + EF (xx-ax+bb) = LM (166-by+yy). Donc &c.

2

Si ab, la construction precedente n'a plus de lieu, car la valeur du demi axe E Fou EG devient nulle. Et comme l'équation precedente devient celle-ci yy -ay -xx+ax=0, ouyy-ay+aa=xx-ax+aa

7

de laquelle extrayant de part & d'autre la racine quar rée, il vient ya axa ouy= x, & a- y=x -aouya-x; il s'enfuit que si l'on acheve le rec FIG. 194. tangle ABCO, & qu'on tire les deux. diagonales A C., BO: elles feront le lieu de tous les points cherchés M. Car la diagonale C est le lieu de la premiere équation y= x, & l'autre diagonale BO est le lieu de la deuxième

FIG. 195.

y=a-x.

REMARQUE I.

356. Si la nature des lignes courbes qui ont pour Asymptotes les droites AB, AO, étoit exprimée par * Art. 229. l'équation generale x*y"= a"*" qui renferme * les Hy* Art. 237. perboles de tous les degrés à l'infini, on auroit TP* (x). PM (y) :: CK (b-y). KM (a-x); ce qui donne yy-by-xx+axo, dont le lieu fe

* Art. 330.

m

construit * ainsi.

m

n

Ayant trouvé le point E comme dans l'exemple, on prendra fur DL de part & d'autre du point E, les parties EF, EG, égales chacune à Vaabb ou

4 n

47

Vbb-aa; selon que naa est plus grand ou moindre que mbb. Enfuite de la ligne FG comme premier axe dans le premier cas, & comme second dans le deuxiéme, qui soit à son parametre en la raison donnée de màn, on décrira deux Hyperboles opposées : leurs portions renfermées dans l'angle OAB feront le lieu quơn cherche.

Si a.b:: vm. vn, l'équation yy-by-xx+ax=0

m

n

m n

celle-ci yy-ay Vxx+ax=0, +=xx- ax+

FIG. 194,
ou yy-ay +

n

172

4 m

m

m n

m

"A de la

4m

quelle extrayant de part & d'autre la racine quarrée, il