née PM * ira toûjours en diminuant ; d'où il suit que * Art. 44. la ligne droite CM, qui passe par le centre, ne rencon. tre l'Ellipse qu'en un point M du même côté de l'axe; & il en est de même pour le point m pris de l'autre côté. Donc &c.

DEFINITIONS.

11.

Si l'on mene par un point quelconque M de l'Ellipfe, FIG. 21. 21. un diametre MCm, une ordonnée M P à l'un ou l'autre axe Aa, & une ligne droite MT, en forte que CT foic troifiéme proportionnelle à CP, CA; le diametre SCS parallele à MT, est appellé Diametre conjugué au diametre Mm; Et réciproquement le diametre Mm eft dit conjugué au diametre Ss: de forte que les deux enfemble sont appellés Diametres conjugués.

12.

2

Toutes les lignes droites menées des points de l'Ellipse parallelement à l'un de ces deux diametres, & terminées par l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre, Ainsi NO parallele au diametre Ss, est Ordonnée à fon conjugué M m.

13.

La troifiéme proportionnelle à deux diametres conjugués, est appellée Parametre du premier de la proportion. Ainsi la troisieme proportionnelle à Mm, Ss, est appellée Parametre du diametre Mm.

COROLLAIRE.

51. Si l'on nomme la donnée CA, t; & les indéterminées CP, x; PT, s; il est clair, selon la définition 11 que CT (x+5)=; & qu'ainfi sx=tt_xx

APPa.

:

30

PROPOSITION V.
Theorême.

52. S 1 l'on mene par les extremités M, S, de deux diatres conjugués Mm, Ss, deux ordonnées MP, SK, à un axe Aa: je dis que la partie CK de cet axe, prise entre le centre

la rencontre de l'une des ordonnées SK, eft moyenne proporttonnelle entre les deux parties AP, Pa, faites par la rencontre de l'autre ordonnée MP.

Il faut prouver que CK = APPa.

Ayant nommé les connues CA, t; CP, x; PT, 5; & * Art. 1. l'inconnue CK, m; on aura A P * Pa=tt_xx=*S X, & AK • Ka=tt-mm=sx + xx_mm en mettant pour tt sa valeur xx+sx. Cela pose, la proprieté de *Art. 42. I'Ellipse* donnera AP*Pa(sx). AK.Ka (sx+xxmm):: PM.KS::TP (ss). CK (mm). à cause des triangles semblables TPM, CKS. D'où l'on tire en multipliant les extrêmes & les moyens, & en transposant à l'or

エー

dinaire, CK (mm)=
qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

APPa. Ce

--

13. PUISQUE CK=tt_xx, il s'enfuit que CA * Art. 41. CK ou AK* Ka=xx. Or*CA (tt), CB (cc)::

tt

2

2

2

AK*Ka (xx). SK = Et CA (tt). Cb (сс)::
AP Pa (tt-xx). PM = cc

De plus à cause des

triangles rectangles CPM, CKS, on aura le quarré CM ou

一

CP+PM=xx+cc_**, & le quarré CS qu CK

2

+KStt-xx+

ccxx

Donc CM+CS=tttcc.

C'est à dire que la somme des quarrés de deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss, est égale à la somme des quarrés des deux axes Aa, B b.

:

PROPOSITION VI.
Theorême.

54. L e quarré d'une ordonnée quelconque ON au diametre Mm, est au rectangle de MO Om fait des parties de ce diametre, comme le quarré de son conjugué Ss, est au quarré du mème diametre Mm.

Il faut prouver que ON. MO Om :: Ss. Mm. Ayant mené les paralleles NQ, OH, à l'axe Bb, & la parallele OR à son conjugué Aa, qui rencontre au point R l'ordonnée No prolongée, s'il est necessaire; on nommera les données CP,x; PM, y; CA, t;PT, s; & les indéterminées HQ ou OR, a;CH, 6; & on aura à cause des triangles semblables CPM, CH0,& MPT, NRO, ces deux proportions CP (x). PM (y) :: CH(b). Ho ou R Q. Et TP (s). PM (y) :: OR (a). RN. Cela posé.

S

x

Puisque (fig. 21.) NQ est toûjours la difference de RQ(2), RN(), & co la fomme de CH (b), HQ (a), lorsque le point N tombe entre les points M, S, ou m, s ; & qu'au contraire (fig. 22.) N Q est toû. jours la somme de RQ, RN, & CQ la difference de CH, H2, lorsque le point N tombe par tout ailleurs: on aura N2=byy 246+**, & Laa

xx

+

2abyy

sx

aayy

SS

2ab+bb; sçavoir - 24699 & +2ab dans le premier cas,

& au contraire +24699 &- 2ab dans le second cas. Or* * Art. 42.

sx

tt

:: PM (yy). Ngay 26-6699. En compa

tt-xx

rant ensemble ces deux valeurs du quarré de N 2

on formera l'égalité 6699

2

zabyy

+ xx

#syy-aayy+zabyy-bbyy, dans laquelle effaçant d'une part le

terme + 2aby & de l'autre le terme +24699 qui lui eft

tt-xx

* Art. 51. égale, puisque *sx=tt xx, & divisant par yy, il vient

66

aa

+

SS

xx

ttaa-66

tt-xx

Si l'on multiplie par xx, & qu'on transpose bb, on

trouvera

aaxx

-ou

aax+

ttxx-xx-bbtt

tt-xx

; & multipliant le premier membre par ssxx, & le second par le quarré de ttxx valeur de sx (ce qui se fait en multipliant simplement le numerateur par tt-xx) on aura aax'= t*xx aattxx_bbt _ ttx2 + aax + b bttxx; d'où en effaçant de part & d'autre a ax, transposant aattxx, & divisant par tt xx, l'on tirera Hou OR (aa) =tt_xx+66-001

Maintenant si l'on nomme le demi diametre CM ou Cm, z; on aura à cause des triangles semblables CPM, CHO, cette proportion CP(x). CM (z) :: CH (b). CO Et partant MO x Om=z- bbzx. Or les triangles semblables O RN, CKS, donnent ON.CS:: OR

** Art. 52.. (tt-xx+bb_bbtt). CK * (tt_xx):: MO x Om (3

CM (22). Puisqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on trouve le même produit. Donc ON.

* Art. 50.. MOOm::CS.CM ::Ss. Mm. Ce qu'il falloit, &c.

COROLLAIRE GENERAL.

55. IL eft visible que ce qu'on a démontré dans la Proposition seconde par rapport aux deux axes Aa, Bb, s'étend par le moyen de cette Proposition à deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss. Or comme les articles 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, 48&49, se tirent, de la feconde Propofition, & fubfiftent également, soit que l'angle A C B foit droit ou qu'il ne le foit pas; il s'enfuit que si l'on suppose dans ces articles, que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes foient deux. diametres

4 A

diametres conjugués quelconques, ils seront encore vrais dans cetre supposition: car leur démonstration demeurera toûjours la même ; & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant par tour où se trouve le mot d'Axe celui de Diametre.

COROLLAIRE II.

56. COMME les articles 44 & 49, fubfiftent avec la F 16. 23.

même force, lorsque les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, sont deux diametres conjugués quelconques, tels que Mm, Ss; il s'enfuit que la ligne MT menée par le point M l'une des extremités d'un diame. tre quelconque Mm, parallelement à son diametre conjugues S's, est tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puisse toucher l'Ellipse en ce point.

D'où l'on voit que d'un point donné sur une Ellipfe, on ne peut mener qu'une seule tangente.

COROLLAIRE III

57. DE-LA il est évident, selon la définition 11, que fi l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipse, une ordonnée MPà l'un ou l'autre axe A a; & qu'ayant pris CT du côté du point P, troisiéme proportionnelle.

CP, CA, on tire la droite MT: cette ligne MT fera tangente en M. Et reciproquement, que fi la ligne MT est tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MPà l'un ou l'autre axe Aa, les parties CP, CA, CT de cer axe, feront en proportion geométrique continuë.

COROLLAIRE IV.

58. Si l'on imagine dans les définitions 11, 12 & 13, & dans les deux dernieres Propositions, que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, soient deux diametres conjugués quelconques; on verra que ces Propositions feront encore vraies, puisqu'elles se démontreront de la même maniere qu'auparavant: comme il est évident par l'inspection de la figure 23, où les triangles

E