30 I PROPOSITION V. Theorême. 52. Si l'on mene par les extremités M, S, de deux diatres conjugués Mm, Ss, deux ordonnées MP, SK, à un axe Aa: je dis que la partie CK de cet axe, prife entre le centre &la rencontre de l'une des ordonnées SK, eft moyenne proporttonnelle entre les deux parties AP, Pa, faites par la rencontre de l'autre ordonnée MP. Il faut prouver que CKAP Pa. & Ayant nommé les connuës CA, t ; С P, x ; P T, s ; * Art. 51. l'inconnuë CK, m; on aura AP× Pa—tt➡x x = *5%,. & AK & Katt mm = sx+xx-mm en mettant. pour tt fa valeur xxsx. Cela pofé, la proprieté de * Art. 42. I'Ellipfe* donnera AP-Pa (sx). AK*Ka (sx+xx—mm) : : PM.KS :: TP (ss), C K (mm). à caufe des triangles femblables TPM, CKS. D'où l'on tire en multipliant les extrêmes & les moyens, & en transposant à l'ordinaire, CK (mm) qu'il falloit démontrer.. = =5x=AP Pa. Ce COROLLAIRE. 13. PUISQUE CK-tt-xx, il s'enfuit que CA * Art. 41 CK ou AK* Ka=x/x. AK × Ka (xx). SK cc x x = 2 - tt 2 Or*CA (tt). CB (cc) ::: Et CA (tt). CD (cc) :: AP × Pa (t tmx x ). P Mec. De plus à caufe des triangles rectangles CPM, CKS, on aura le quarré C Mou CP+PM xx+cc- & le quarré CS ou CK +KS =tt_xx + c**. Donc CM+CS=tt+cc.. C'est à dire que la fomme des quarrés de deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss, eft égale à la fomme. des quarrés des deux axes A a, B b. E PROPOSITION VI. Theorême. 54. L e quarré d'une ordonnée quelconque ON au diametre Mm, eft au rectangle de MO×Om fait des parties de ce diametre, comme le quarré de fon conjugué Ss, eft au quarré du même diametre M m. Il faut prouver que ON. MO×Om:: Ss. Mm'. Ayant mené les paralleles NQ, OH, à l'axe Bb, & la parallele OR à fon conjugué Aa, qui rencontre au point R l'ordonnée NQ prolongée, s'il eft neceffaire on nommera les données CP, x; PM PM,y; CA, t ; PT, s; & les indéterminées HQ ou OR, a; CH,b; & on aura à cause des triangles femblables CPM, CHO, & MPT, NRO, ces deux proportions CP (x). P M (y) :: CH (b). HO ou RQ=2. Et TP (s). P M (y) :: OR (a). RN=22. Cela pofé. c x Puifque (fig. 21.) NQest toûjours la difference de R Q (2), R N (~), & CQ la fomme de CH (b), HQ (a), lorfque le point N tombe entre les points M, S, ou m, s; & qu'au contraire (fig. 22.) NQ est toû jours la fomme de RQ, RN, & Co la difference de CH, H2, lorfque le point N tombe par tout ailleurs: on aura Ñ2=2 24677 aayy +^^13, & c2=aa 6677 xx Ħ zab+bb ; sçavoir-246y+2ab dans le premier cas, & au contraire1aby &—2ab dans le second cas. Or** Art. 42. AP×Pa (tt—xx). A Q× Q4 ou CA —CQ (tt—aa±zab_bb) :: PM (yy). QN*=**yya ay y 2 by y—bby. En compa ttyy—a ayy ±za tt-xx rant ensemble ces deux valeurs du quarré de N2Q, xx ގ styy—nayy±zabyy—bbyy, dans laquelle effaçant d'une part le tt xx +2abyy qui lui eft terme 246yy & de l'autre le terme 1-xx *Art. 51. égale, puisque * s x-tt-xx, & divifant par yy, il vient aa =+ XX tta a -6b tt-xx Si l'on multiplie par xx, & qu'on transpose bb, on x-bbtt, & multipliant. trouvera aaxx a a x + tt xx tt-xx le premier membre par ssxx, bbt t x x 2 Maintenant fi l'on nomme le demi diametre C M ou gles femblables ORN, CKS, donnent ON. CS :: OR * Art. 5.2.. (tt xx+bb—bbit). CK * (tt-xx) :: MO x. Om (xxx bbx). CM (22). Puifqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on trouve le même produit. Donc ON. *Art. 50.. MO×.Om :: CS.CM :: Ss. Mm. Ce qu'il falloit, &c. COROLLAIRE GENERA L. 55. IL Left vifible que ce qu'on a démontré dans la Propofition feconde par rapport aux deux axes Aa,. Bb, s'étend par le moyen de cette Propofition à deux diametres conjugués quelconques Mm, Ss. Or comme les articles 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, 48 & 49, se tirent. de la feconde Propofition, & fubfiftent également, que l'angle ACB foit droit ou qu'il ne le foit pas ; il: s'enfuit que fi l'on fuppofé dans ces articles, que les li-. gnes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes foient deux. foit diametres A diametres conjugués quelconques, ils feront encore vrais dans cette fuppofition: car leur démonftration demeurera toûjours la même, & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant par tout où se trouve le mot d'Axe celui de Diametre. COROLLAIRE II 56. COMME OM ME les articles 44 & 49, fubfiftent avec la F1 6. 23.même force, lorfque les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, font deux diametres conjugués quelconques, tels Mm, que S-s; il s'enfuit que la ligne MT menée par le point M l'une des extremités d'un diame tre quelconque Mm, parallelement à fon diametre conjugues S's, eft tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puifle toucher l'Ellipfe en ce point. D'où l'on voit que d'un point donné sur une Ellipse, on ne peut mener qu'une feule tangente. COROLLAIRE III. 57. DE-LA il est évident, felon la définition 11o, que fi l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe, une ordonnée MP à l'un ou l'autre axe A a; & qu'ayant pris CT du côté du point P, troifiéme proportionnelle. a CP, CA, on tire la droite MT: cette ligne M T sera tangente en M. Et reciproquement, que fi la ligne MT eft tangente en M, & qu'on mene l'ordonnée MP à l'un ou l'autre axe A a, les parties CP, CA, CT de cet. axe, feront en proportion geométrique continuë. I COROLLAIRE IV. 58. Si l'on imagine dans les définitions 11, 12 & 13 ̧ ̧. & dans les deux dernieres Propofitions, que les lignes. Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, foient deux diametres conjugués quelconques; on verra que ces Propofitions feront encore vraies, puifqu'elles fe démontreront de la même maniere qu'auparavant : comme il esta évident par l'inspection de la figure 23, où les triangles. E.. FIG. 24. femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas des axes. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorfque la ligne Aa, au lieu d'être un axe, est un diametre quelconque. 2°. Que les diametres conjugués Mm, Ss, peuvent être les deux axes dans cette fuppofition; & qu'ainfi on peut regarder les deux axes comme deux diametres conjugués, qui font entr'eux des angles droits. 59. SI I par un point quelconque d'une Ellipfe qui a pour centre le point C, l'on tire une ordonnée MP à l'un des axes Aa, & une perpendiculaire MG à la tangente MT qui passe par le point M: je dis que CP fera toujours à PG en raison donnée de l'axe A a à fon parametre. Car nommant le demi-axe CA ou Ca, t; & les indé* Art. 57. terminées CP, x; P M,y; on aura* CT=; & par x tant PT-****. Or les triangles rectangles fembla tt--xx bles TP M, MPG, donnent TP(**). PM (y) :: хуу PM (y). PG= ". D'où l'on tire cette proportion tt-xx CP (x). PG(*) :: AP× Pa (tt_x x ). P Ma (yy}. xx Puifqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on forme le même produit xyy. Mais le rectangle A P× P a, * Art. 41. est * au' quarré PM, comme l'axe Aa eft à son para FIG. 25. metre. Donc &c. PROPOSITION VIII. Theorême. 60. Si l'on mene par un point quelconque M d'une Ellipfe, une tangente TMS, & aux deux foyers F, f, les droites MF, |