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* Art. 318.

329.

pofe toutes les quantités du même côté, on formera. cette équation

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2 mnx

nn = o, 42mq

+e

+2.12

+c

-29
+d

dont le lieu fera * un cercle fi la quantité c✈ 2n— mm. ( qui multiplie le quarré xx) eft positive, & qu'on prenne.pp = c + — — ÷ bb; car divisant par pp, & faisant pour

f

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abreger 27

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2 m q+e—n n nn-2mq-e
ou
PP

PP

on aura yy xx=2rxss=o: fçavoir ss lorf que 2 mqe surpasse nn; & —ss, lorsqu'il est moindre.

Pour construire la ligne courbe qui est le lieu de la premiere équation x' —- xxnx q=pxy, je fuppofe

x3

à l'ordinaire deux lignes droites inconnuës,& indétermi FIG. 224, nées AP (x), PM (y) qui faflent entr'elles un angle droit. APM; & je tire par l'origine A des x, une ligne droite. indéfinie A parallele à PM, fur laquelle ayant pris du côté de PM la partie AG, & du côté oppofé la partie.

Ꮐ Ᏼ

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GB=1, je mene du côté de. P M. la droite BC =m,
perpendiculaire à AQ. Cela fait, je décris fur un plan se-
pare une Parabole ME M qui ait pour parametre de son
axe la ligne p√c➡2. 12
c2n mm, & ayant placé ce plan
fur celui-ci en forte que l'axe de la Parabole fe confonde.
avec la ligne AQ & que la Parabole s'étende vers le côté
opposé à PM, je prends fur cet axe depuis fon origine E
vers le dedans de la Parabole la partie E F = BG ≈

mp

Je me fers enfin d'une longue regle indéfinie CF mobile autour du point fixe C, & qui passe toûjours par le point F & la faisant tourner autour du point C, en forte qu'elle fal fe gliffer la partie E F de l'axe de la Parabole le long de la ligne AQ. Je dis que les deux intersections continuelles M, M, de cette regle avec la Parabole M E M décriront dans ce mouvement deux lignes courbes qui feront le lieu

qu'on

qu'on demande.

n

9

Car par la conftruction AB ou AG

— GB = 2 ——,, & par la proprieté de la Parabole

xx

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P m P

n

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EQ= puifque AP ou M2Ex. Or les triangles femblables F QM, MDC, donnent F ou E2 — E F (~— 2). QM ( x ) :: DM ou P M—A B (y+2—5). CD(m x). Donc en multipliant les extrêmes & les moyens, on aura xmxxx+qpxy. Et fi l'on prend fucceffivement les points M dans les trois angles qui fuivent celui-ci, on trouvera toûjours la même équation,, en obfervant de faire AP-x & PM -y lorfque les points P & M tombent du côté oppofé à celui-ci : de forte que ces deux lignes courbes, qu'on peut appeller conchoides paraboliques, feront le lieu complet de toutes les valeurs tant vraies que fauffes de l'inconnue y, qui répondent à toutes les valeurs tant vraies que fauffes de l'autre inconnuë x, dans l'égalité x'm x x − n x + q = -pxy. Pour conftruire le cercle qui eft le lieu de la feconde équation yyxx — 2 rxs so, il n'y a qu'à prendre fur la droite indéfinie AP la partie AHr du côté de PM lorfque la valeur de r eft pofitive, & du côté oppofé lorsqu'elle eft negative ; enfuite du centre H & du rayon H M =Vrr±ss, sçavoir —ss, lorsqu'il y ass dans l'équation, &+ss lorfque c'eft — ss, décrire un cercle; car à caufe du triangle rectangle HPM, on aura toûjours HM HP+P M, c'eft à dire en mettant les valeurs analytiques, & tranfpofant tous les termes d'un côté yyxx-zrxss = 0.

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Je dis maintenant que fi des points M où ce cercle rencontre les conchoïdes paraboliques on mene des perpendiculaires MQ fur la droite indéfinie A 2; ces lignes feront les racines de l'égalité propofée : fçavoir celles qui tombent à droit, les vraies; & celles qui tombent à gauche, les fauffes. Car menant des paralleles M P à AQ, on trouve par la proprieté des conchoïdes cette équation

Tt

×3 — M X X ——— N x+q=pxy, c'eft à dire, en quarrant chaque membre,ppxxyy = -x-2 mx' &c; & par la proprieté du cercle, cette autre yy + xx―2rxss

o, laquelle étant multipliée par ppxx donne pp x x y z = - p p ** + 2 ppr x3 ppss xx. Et comparant enfemble ces deux valeurs de ppxxyy, on formera une éga lité dans laquelle fi l'on met à la place de 2r, ss, pp, m, n, q, leurs valeurs, on retrouvera l'égalité propofce xbx' &c.

PP

S'il y avoit dans l'égalité proposée -dx' au lieu de +dx', il eft vifible qu'en prenant alors 2 r— 2mn+2q+6 ̧ le reste de la conftruction ne changeroit point, puifque d ne fe rencontre que dans la valeur de r. Et comme alors tous les fignes des termes de l'égalité propofée font alternatifs ; c'est une maxime reçûë en Algebre que toutes fes racines réelles feront vraies; c'eft à dire, que fi cette ega. lité a deux racines réelles & quatre imaginaires, les deux réelles feront vraies; fi elle en a quatre réelles & deux imaginaires, les quatre feront vraies ; & enfin fi toutes les fix font réelles, elles feront toutes vraies. D'où l'on voit qu'on n'a befoin alors que de la conchoïde qui eft décrite par la moitié de la Parabole qui tombe du côté du point fixe C, puifque l'autre ne fert que pour les racines fauffes.

S'il arrivoit que la valeur du rayon du cercle fût nulle ou imaginaire, ou enfin fi petite qu'il ne touchât, ni ne coupât les deux conchoïdes en aucun point; ce feroit une marque infaillible que toutes les racines de l'égalité feroient imaginaires. S'il les coupoit en fix points, toutes les racines feroient réelles. Et enfin s'il ne les coupoit qu'en quatre ou en deux, il n'y auroit que quatre ou deux racines réelles, & les autres feroient imaginaires. Il faut toûjours prendre garde que fi le cercle touchoit l'une des conchoïdes en quelque point, on doit regarder ce point comme s'il réüniffoit deux points infiniment proches, en forte que l'égalité propofée auroit deux racines égales à la perpendiculaire menée de ce point fur BE.

REMARQUE I.

406. IL fuit de la description des deux conchoïdes paraboliques, 1°. Qu'elles ont pour Afymptote commune la droite B E infiniment prolongée de part & d'autre. 2o. Qu'une des conchoïdes paffe par le point fixe C, & qu'alors la regle CF la touchera en ce point; puifque le point M fe reüniffant au point C, la regle paffe par deux points infiniment proches de cette ligne courbe. 3°. Que lorfque le point A tombe fur B, la regle CF qui décrit par les interfections M, M, avec la Parabole les con. choïdes, tombe fur CB, & qu'ainsi la ligne M F M devient la double ordonnée qui part du point F : c'est à dire que la ligne C B rencontre les conchoïdes en deux points K, L, tels que B K & BL font égales chacunes à l'ordonnée à l'axe de la Parabole qui part du point F. D'où il eft clair que fi BC étoit égale à cette ordonnée, le point K tomberoit alors fur le point C; & qu'ainsi la ligne BC qui pafferoit par deux points infiniment proches K, C de la conchoïde la toucheroit en se réünissant toute entiere dans le feul point C.

Il n'eft pas neceffaire de fe fervir de la Parabole MEM F16. 225. pour trouver les points des conchoïdes; car ayant pris fur BE la partie BO égale au parametre de la Parabole, & décrit d'un diametre quelconque O R plus grand que OB un cercle qui coupe BC aux points D, Dion prendra fur ce. diametre la partie R S égale à E F, & on tirera par le point fixe C les deux droites CM, CM, paralleles à DS, DS, qui rencontreront les paralleles DM, DM, à EB en des points M, M, qui feront aux deux conchoïdes. Car ayant prolongé CM jufqu'à ce qu'elle rencontre l'Afymptote BE au point F ; & mené MQ parallele à BC; il eft clair que les triangles rectangles MQF, DBS, feront égaux, & qu'ainfi F Q est égale à BS. Or ayant pris RS égale à E F ; on aura E FFQ, ou EQ=RS+SB ou RB ; & la Parabole EM qui a pour fommet le point E & pour

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parametre une ligne égale à BO, paffera par le point M; puifque par la proprieté du cercle le quarré de B D ou M2, eft égal au rectangle de BR ou EQ par le parametre de BO; ce que donne auffi la proprieté de la l'arabole. D'où il fuit que le point M trouvé par cette construction, n'est pas different de celui que donneroit l'interfection de la règle CF avec la demie Parabole EM. Et c'est ce qu'il falloit démontrer.

Si le point D étoit donné, il ne faudroit pour avoir le point R, que mener DR perpendiculaire à O D ; & le refte de la construction ne changeroit point.

J'avertirai ici en paffant, 1°. Que fi l'on prend fur B C du côté du point C, une partie B D égale à la vraie racine de l'egalité du troifiéme degré x3 — ÷ m x x —÷m np

(les données B Cm, Et—n, BO=p); & qu'on trouve enfuite le point M comme l'on vient d'enseigner: ce point fera plus éloigné de la droite BC que tous les autres points de la portion K MC, de forte que la tangente qui paffe par ce point fera parallele à BC. 2°. Que fi l'on prend fur B C prolongée de l'autre côté du point B, une partie BD égale à la vraie racine de l'egalité

mnpo; le point Mde la conchoïde, qui repond au point D, en fera le point d'inflexion : c'est à dire le point où de concave elle devient convexe. Comme ceci dépend des principes que j'ai établis dans mon Livre des Infiniment petits, on doit le fuppofer comme vraie, & remetre à en chercher la raifon après avoir lû ce Livre ou quelque chofe d'équivalent, d'autant plus que cela eft inutile pour la refolution des égalités du fixiéme degré dont il est ici question.

L

REMARQUE II.

407. I1 est visible que pour décrire les deux conchoïdes paraboliques, il faut 1°. Que la ligne BC (b) ait quelque grandeur, & qu'ainfi l'egalité propofée doit avoir un fecond terme. 2°. Que le terme q ne peut

être

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