Mf; je dis que les angles FMT, fMS, faits par ces lignes de part & d'autre avec la tangente T MS, font égaux

entr'eux.

Car ayant mené les perpendiculaires FD, fd, fur cette tangente; le premier axe A a qui la rencontre en T & l'ordonnée MP à cet axe, & nommé les données CA ou Ca, t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée C P ̧ x ;

x

m x

on aura M F * ( t —TM*). Mf (t+~~) :: TF, ou CT* * Art. 38.

t

(-) — CF (m). Tfou CT (H)+cf(m). Puisqu'en multipliant les extrêmes & les moyens, on trouve le même produit. Or les triangles femblables TFD,Tfd, donnent TF. Tf:: F D.fd. L'hypothenufe M F du triangle rectangle MDF, fera donc à l'hypothenufe Mƒ du triangle rectangle M df, comme le côté D F eft au côté df; & par confequent ces deux triangles feront femblables. Les angles FMD,fM d, ou F MT, fMS, qui font oppofés aux côtés homologues DF, df, feront donc égaux entr'eux. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

61. DE LA il est évident que la tangente TMS étant prolongée indéfiniment de part & d'autre du point touchant M, laiffe l'Ellipfe roure entiere du côté de fes deux foyers F,f. Or comme cela arrive toûjours en quelque endroit de l'Ellipfe que tombe le point M, il s'enfuit qu'elle fera concave dans toute fon étenduë autour de les deux foyers, & par confequent auffi autour de fon centre.

PROPOSITION IX.

Theorême..

* Art. 57.

62. Si ton mene par l'une des extremités A d'un diame- F1G, 263tre A a une parallele D A E à fon conjugué Bb, laquelle ren

contre deux autres diametres conjugués quelconques Mm, Ss,

aux points D, E, je dis que le rectangle de D A par AE, eft
DA
égal au quarré de la moitié CB du diametre B'b.

Il faut prouver que DA AE-CB'.

Ayant mené par les extremités M, S, des diametres conjugués Mm, Ss, les ordonnées MP, SK, au diametre Aa, on nommera les données CA, t; CB, c; & les * Art. 52. indéterminées CP, x; PM, y ; & on aura CK= A P× Pa—tt—xx ; & par consequent AK* Ka ou CA

13

* Art. 54. CA C K2=xx. Or* BC (cc). C Â3 (tt) :: MP ̊ (yy).

FIG. 27.

APжPa ou CK—". Et CA (tt). CB (cc) :: AK*Ka

=

сс

( x x ). KS =***. Donc en extrayant les racines quar

tt

с

t

rées, l'on tire CK=22, & KS=. Mais les triangles femblables CPM, CAD, & CKS, CAE, donnent C P ( x ), P M (y) :: CA (t). A D=”). Et CK

x

(~2~2) KS (~~) :: CA (t). AE. Donc DAA Ecc=BC Ce qu'il falloit démontrer.

ty

PROPOSITION X.

Problême.

63. DEUX diametres conjugués Aa, Bb, d'une Ellipfe étant donnés avec une ligne droite MCm qui passe par le centre C, marquer fur cette ligne les points M, m, où elle rencontre l'Ellipfe.

Ayant mené par l'une des extremités A du diametre Aa, une parallele indefinie A D, à fon conjugué Bb, laquelle rencontre la ligne C M donnée de pofition au point D, on tirera par le point A perpendiculairement fur AD, la ligne AO égale à CB, & par les points O, D, la ligne OD. On décrira du rayon OA un cercle qui coupera la ligne OD en deux points N, n, par où l'on tirera des paralleles NM, nm, à la ligne o C qui joint

les centres de l'Ellipfe & du cercle. Je dis que les points M, m, où elles rencontrent la ligne CD, feront à l'Ellipfe, & détermineront par confequent les extremités du diametre M Cm donné de pofition.

Car menant les paralleles M P, NQ, à AD, qui rencontrent les lignes CA, OA, aux points P, Q, les triangles femblables CDO, MDN, & CDA, CMP,& ODA, ON 2, donneront CA. CP:: CD. CM::OD. ON::04.00. c'eft à dire, CA. CP::OA.OQ. Et partant fi l'on mene la droite P2, elle fera parallele à Oc & par confequent auffi à MN fuppofée parallele à o c. Ainfi les paralleles MP, NQ, feront égales entr'elles. Cela pofé, fi l'on nomme les données CA,t; CB ou AO ou ON, c; & les indeterminées CP, x; P M ou NQ,y; on aura CA (t), CP ( x ) : : 0 A (¢). 0 Q =c*. Et à cause du triangle 02N rectangle en 2, le quarré NO ou MP ̊ (y)=ON ̊ (cc) — 0 2 (***).· La ligne M P fera donc * une ordonnée au diametre Aa; & Art. 41. par confequent le point M appartiendra à l'Ellipfe qui

a

tt

t

à pour diametres conjugués les droites Aa, Bb. Mais à caufe des paralleles NM, 0, nm, la ligne M m eft divifée en deux également par le centre Cpuifque par la proprieté du cercle, Nn l'eft au point 0. Donc le point m appartiendra aussi à la même Ellipse.

Si les diametres conjugues Aa, Bb, étoient les deux axes, les paralleles CO, PQ, fe confondroient alors avec les lignes CA, AO, qui n'en feroient qu'une feule; ce qui rendroit la conftruction & la démonstration un peu plus faciles.

PROPOSITION XI.
Problême.

64. DEUX diametres conjugués Aa, Bb, d'une Ellipfe FIG. 27, étant donnés ; en trouver les deux axes Mm, Ss: & démontrer

qu'il n'y en peut avoir que deux.