COROLLAIRE I. 1. IL suit de la définition de la Parabole que si l'on tire 2. COROLLAIRE II. DE-LA il est évident, que si l'on mene une ligne droite quelconque KK parallele à la directrice BC, & que d'un point quelconque M de la parabole, on tire fur cette ligne la perpendiculaire MK, & au foyer la droite MF; la difference ou la somme KD des deux droites MF, MK, sera toûjours la même : sçavoir la difference lorsque le point M tombe au dessous de KK, & la somme lorsqu'il tombe au dessus. COROLLAIRE III... 3. I Lest évident que FE est divisée en deux parties égales par la parabole au point A. Car supposant que le point M tombe au point A, la ligne M F tombe fur AF, & la ligne MD sur A E, qui feront par consequent égales entre elles; puisque M Fest toûjours * égale à MD, en quelque endroit de la parabole que tombe le point M. COROLLAIRE IV. * Art. 1. 4. DE LA On voit comment on peut décrire une parabole XAZ, l'axe AP dont le point A est l'origine étant donné, avec son parametrep. Car ayant pris fur l'axe AP de part & d'autre du point A les parties AF, AE égales chacune au quart de son parametre p, & mené par le point E la perpendiculaire indéfinie BC fur FE; fi l'on couche le bord inferieur d'une regle sur cette ligne C *Def. 1. Art. 3. FIG.I. * Art. 5. BC qui sert de directrice, & que par le moyen d'une équerre ODG, & d'un fil FMO égal au côté OD, & artaché par l'un de ses bouts au foyer F, & par l'autre bout à l'extremité o de ce même côté, l'on décrive une Parabole XA Z comme l'on a enseigne dans la definition premiere, il est visible qu'elle fera celle qu'on demande. Il n'est pas moins visible que plus le côté OD de l'équerre & le fil OM F (qui * lui doit être égal) sera long, plus aussi la portion de la parabole qu'on décrira sera grande; de forte qu'on la peut augmenter autant que l'on voudra, en augmentant également le côté OD'de l'équerre & le fil OMF. COROLLAIRE V. 5. St d'un point quelconque M de la Parabole l'on mene une ordonnée MP à l'axe, & au foyer F la droite MF; il est clair que cette ligne MF = AP+AF, puisque MF=MD=AP+AE, & que * A F=A E. PROPOSITION I. Theorême. 6. Le quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe AP, est égal au rectangle du parametre p, par la partie AP de l'axe prise entre fon origine A & la rencontre P de l'ordonnée. Il faut prouver que MP2 = p* AP. 2 * Ayant nommé la donnée AF, m; & les indeterminées AP, x; PM, y; on aura MF = m+x,& PF=x_m ou mx, felon que le point p se trouve au dessous ou au dessus du foyer F. Or le triangle rectangle MPF donne en l'un & l'autre cas MF (mm + 2mx + xx)=MP (yy)+PF (mm_2mx + xx); d'où l'on tire 4mx=yy. Donc puisque selon la se definition p=4m on aura auffi yy=px. Ce qu'il falloit démontrer. 2 7 COROLLAIRE PREMIER ET FONDAMENTAL. 7. I L est donc évident que si l'on nomme p le para. metre de l'axe AP; chacune de ses parties AP,; & F1 G. 2. COROLLAIRE II. 8. Si l'on mene deux ordonnées quelconques MP, Fic. 2. NQ à l'axe AP, leurs quarrés feront entreux comme 2 PM.QN ::p * A P. p * A Q :: AP. A Q. COROLLAIRE III. 7. 9 Si l'on mene par un point quelconque P de l'axe AP une parallele MPM à ses ordonnées, elle rencontrera la parabole en deux points M & M également éloi. gnés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M & M foient à la parabole, il faut que les quarrés de chaque PM (y) prise de * Art. 7. part & d'autre du point P, foient égaux chacun au mê. me rectangle p x. COROLLAIRE IV. (x) est * Art. 7. 10. I L IL fuit de ce que *yy=px, que plus A P Σ : nissent en ce point. D'où il est clair.. 1°. Que si l'on mene par l'origine A de l'axe une ligne LL parallele à ses ordonnées, elle fera tangente en A. 1o. Que la Parabole s'éloigne de part & d'autre de plus en plus à l'infini de son axe AP à commencer par fon origine A; & qu'ainfi toute parallele comme LMà l'axe AP, ne rencontre la Parabole qu'en un feul point M, & paffle au dedans, puisque sa distance de l'axe demeure partout la même. COROLLAIRE V. II. SI d'un point quelconque M de la Parabole l'on tire une parallele M L à l'axe AP, laquelle rencontre en L la parallele AL à fes ordonnées ; il est clair en menant l'ordonnée MP, que AL=PM (y), & que ML=AP ML P P * Art. 7.. (x), puifque* pxyy. D'où il suit que les droites (끝), MZ (2) prises de part & d'autre de l'axe AP sont égales entr'elles, lorsque les points L, L font également éloignés du point A; & partant que fi une ligne quelconque MM terminée par la parabole est coupée en deux parties égales par l'axe en P, elle fera paral. lele à la ligne LL, c'est à dire qu'elle fera ordonnée de part & d'autre à l'axe. Car ayant mené les paralleles ML, ML à l'axe A P, il est évident que Z Ż sera divisée par le milieu en A, puisque M M l'est en P. Les droites ML, ML, feront donc égales entr'elles comme on vient de le prouver ; & par consequent la ligne MM sera parallele * Art. 9. à LL. COROLLAIRE VI.. 12. I fuit de ce que toutes les perpendiculaires MPM à l'axe A P, terminées de part & d'autre par la parabole, font * coupées par le milieu en P; que l'axe divise la parabole en deux portions entierement égales & fem. blablement posées de part & d'autre. Car si le plan fur lequel elle est tracée, étoit plié le long de l'axe enforte y : $ que les deux parties se joignissent, il est visible que les deux portions de la parabole tomberoient exactement l'une sur l'autre. PROPOSITION II. Theorême. 13. Si l'onmene par l'origine A de l'axe AP une ligne droi- F 1 G. 3. te quelconque AM dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe AP & par la ligne LL parallele à ses ordon. nées; je dis qu'elle ira rencontrer la parabole MAM en un autre point M. Ayant pris sur A L de part ou d'autre du point A la partie AG égale au parametre p de l'axe, & tiré GF paral. lele à l'axe AP, & qui rencontre la ligne AM (prolongée s'il est necessaire) au point F; on prendra sur la ligne AL du même côté où tombe la ligne A M par rapport à l'axe AP, la partie AL égale GF ; & ayant tiré LM parallele à l'axe, je dis que le point M où cette ligne rencontre la droite AM, sera à la parabole MAM. Car menant MP parallele à AL, les triangles semblables FGA, APM, donneront FG ou AL ou PM.GA:: 2 AP. PM. Et partant PMGA (p)* AP. Laligne COROLLAIRE I. 14. DE-LA E-LA on voit comment l'axe AP d'une parabole MAM étant donné avec son parametre p, & ayant mené par l'origine A de l'axe dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe A P & par la ligne LL parallele à ses ordonnées, une ligne droite quelconque AM; on voit, dis-je, ce qu'il faut faire pour trouver sur cette ligne le point M où elle rencontre la parabole MAM. い 1 |