COROLLAIRE I.

I. IL fuit de la définition de la Parabole que fi l'on tire par un de fes points quelconques M au foyer F une ligne droite MF, & fur la directrice BC une perpendiculaire MD, les droites M F, MD, feront toûjours egales entre elles. Car fi l'on retranche du côté O D de l'équerre & du fil OM E qui lui eft égal, la partie commune OM, * Def. 1. il eft vifible que les parties reftantes MD, MF, feront toûjours égales entre elles.

COROLLAIRE IF

2. DE-LA il est évident, que fi l'on mene une ligne droite quelconque KK parallele à la directrice BC, & que d'un point quelconque M de la parabole, on tire fur cette ligne la perpendiculaire MK, & au foyer la droite MF; la difference ou la fomme KD des deux droites M F, MK, fera toûjours la même : fçavoir la difference lorfque le point M tombe au deffous de K K, & la somme lorsqu'il tombe au dessus.

COROLLAIRE III.

3. I Left évident que FE est divisée en deux parties égales par la parabole au point A. Car fuppofant que le point M tombe au point A, la ligne M F tombe fur AF, & la ligne MD fur A E, qui feront par confequent égales entre elles; puifque M Feft toûjours * égale à MD, en * Art. 1. quelque endroit de la parabole que tombe le point M.

COROLLAIRE IV.

4. DE LA on voit comment on peut décrire une parabole XAZ, l'axe AP dont le point A eft l'origine étant donné, avec fon parametre p. Car ayant pris fur l'axe AP de part & d'autre du point A les parties AF, A E égales chacune au quart de fon parametre p, & mené par le point E la perpendiculaire indéfinie BC fur FE; fix l'on couche le bord inferieur d'une regle fur cette ligne

D

* Def. 1.

Art. 3.

FIG. I.

* Art. S.

BC qui fert de directrice, & que par le moyen d'une équerre ODG, & d'un fil FMO égal au côté OD, & attaché par l'un de fes bouts au foyer F, & par l'autre bout à l'extremité de ce même côté, l'on décrive une Parabole XA Z comme l'on a enseigné dans la definition premiere, il eft vifible qu'elle fera celle qu'on demande.

Il n'eft pas moins vifible que plus le côté O D de l'équerre & le fil OM F (qui * lui doit être égal) fera long, plus auffi la portion de la parabole qu'on décrira fera grande, de forte qu'on la peut augmenter autant que l'on voudra, en augmentant également le côté O D de l'équerre & le fil OMF.

I

COROLLAIRE V.

5. Si d'un point quelconque M de la Parabole l'on mene une ordonnée MP à l'axe, & au foyer F la droite MF; il eft clair que cette ligne MFAP+AF, puifque MFMD=AP÷A E, & que * A FA E.

PROPOSITION I
Theorême.

6. Le quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe AP,
eft égal au rectangle du parametre p, par la partie AP de l'axe
prife entre fon origine ♬ & la rencontre P de l'ordonnée.
Il faut prouver que MP'-p× A P.

ou m

felon

que

*

Ayant nommé la donnée AF, m; & les indeterminées AP, x; PM,y; on aura MF = mx,& PF = x - m le point p fe trouve au deffous ou au deffus du foyer F. Or le triangle rectangle MPF donne en l'un & l'autre cas MF (mm+2 mx + xx)=M P {yy )+P F* ( mm — 2 m xx x); d'où l'on tire 4mx=yy. Donc puifque felon la se definition p=4m, on aura auffi yypx. Ce qu'il falloit démontrer.

Ꮀ

2

COROLLAIRE PREMIER ET FONDAMENTAL.

7. IL eft donc évident que fi l'on nomme p le para. metre de l'axe AP; chacune de fes parties AP, ; & FIG. 2. chacune de fes ordonnées correfpondantes P M,y; on aura toûjours yy=px. Or comme cette proprieté convient à tous les points de la parabole, & en détermine la pofition par rapport à fon axe AP; il s'enfuit que l'équation yypx exprime parfaitement la nature de la parabole par rapport à fon axe.

COROLLAIRE II.

8. Si l'on mene deux ordonnées quelconques M P, FIG. 2. NQ à l'axe AP, leurs quarrés feront entreux com me les parties AP & AQ de l'axe, prifes entre fon origine A

& les rencontres P & Q de ces mêmes ordonnées. Car* * Art. 6. PM.QN::p* A P. p× AQ :: AP, AQ.

COROLLAIRE III.

7.

9. Si l'on mene par un point quelconque P de l'axe AP une parallele M P M à ses ordonnées, elle rencontrera la parabole en deux points M & M également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M & M foient à la parabole, il faut que les quarrés de chaque P M (y) prife de* Art. 7. part & d'autre du point P, foient égaux chacun au même rectangle px.

*

COROLLAIRE IV.

10. IL fuit de ce que *yy=px, que plus AP ( x ) est ⋆ Art. 7. grande, plus aufli l'ordonnee PM (y) prife de part & d'autre de l'axe A P augmente, & cela à l'infini, & qu'au contraire plus AP (x) diminuë, plus auli Pidonnée PM(y) devient petite: de forte que AP(x) étant nalie ou zero, chaque P M (y) prife de part & d'autre de l'axe AP devient auffi nulle ; c'est-à-dire que le point P tombant en A, les deux points de rencontre M & M le reu

niffent en ce point. D'où il eft clair.

1°. Que fi l'on mene par l'origine de l'axe une ligne: LL parallele à fes ordonnées, elle fera tangente en A.

1°. Que la Parabole s'éloigne de part & d'autre de plus en plus à l'infini de fon axe AP à commencer par fon origine A; & qu'ainfi route parallele comme L M à l'axe AP, ne rencontre la Parabole qu'en un feul point M, & paffe au dedans, puifque fa distance de l'axe demeure partout la même.

COROLLAIRE V.

II. SI d'un point quelconque M de la Parabole l'on tire une parallele M L à l'axe AP, laquelle rencontre en Z la parallele AL à fes ordonnées ; il eft clair en menant l'ordonnée MP, que A L➡PM (y), & que M LAP les droites * Ari. 7.. (x)=22, puifque *pxy y. D'où il fuit que

* Art. 9.

P

ML (22), MZ (22) prifes de part & d'autre de l'axe AP font égales entr'elles, lorfque les points L, L font: également éloignés du point A ; & partant que fi une ligne quelconque M M terminée par la parabole eft coupée en deux parties égales par l'axe en P, elle fera paral. lele à la ligne LL, c'est à dire qu'elle fera ordonnée de part & d'autre à l'axe. Car ayant mené les paralleles ML, ML à l'axe AP, il est évident que L L ferà divifée par le milieu en A, puisque M M l'est en P. Les droites ML, M L, feront donc égales entr'elles comme on vient de le prouver; & par consequent la ligne M M fera parallele

à L L..

L

COROLLAIRE VI..

12. I fuit de ce que toutes les perpendiculaires MPM à l'axe AP, terminées de part & d'autre par la pa rabole, font* coupées par le milieu en P; que l'axe divife la parabole en deux portions entierement égales & sem. blablement pofées de part & d'autre. Car fi le plan fur lequel elle eft tracée, étoit plié le long de l'axe enforte

que

que

les deux parties se joigniffent, il est visible les deux portions de la parabole tomberoient exactement l'une fur l'autre.

I

PROPOSITION II

Theorême.

13. Si l'on mene par l'origine A de l'axe AP une ligne droi- F 1 G. 3. te quelconque AM dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe AP & par la ligne L L parallele à fes ordon nées; je dis qu'elle ira rencontrer la parabole MAM en un autre point M.

Ayant pris fur A L de part ou d'autre du point A la partie AG égale au parametre p de l'axe, & tiré GF paral lele à l'axe AP, & qui rencontre la ligne AM (prolongée s'il eft neceffaire) au point F; on prendra fur la ligne AL du même côté où tombe la ligne AM par rapport à l'axe AP, la partie AL égale GF ; & ayant tiré ZM parallele à l'axe, je dis que le point M où cette ligne rencontre la droite AM, fera à la parabole MAM,

Car menant MP parallele à AL, les triangles semblables FGA, APM, donneront FG ou AL ou PM.GA:: AP. PM. Et partant P M GA (p)× AP. La ligne PM fera donc une ordonnée à l'axe AP. Ce qu'il fal- * Art. 7. loit démontrer.

COROLLAIRE I

14. DE-I E-LA on voit comment l'axe AP d'une para bole MAM étant donné avec fon parametre p, & ayant mené par l'origine A de l'axe dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe AP & par la ligne LL parallele à fes ordonnées, une ligne droite quelconque AM, on voit, dis-je, ce qu'il faut faire pour trouver fur cette ligne le point M où elle rencontre la parabole

MAM.

ا تھا