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Hyperboles opposées tomberont exactement l'une fur l'au-tre; fçavoir, les points B, M, &c. fur les points 6, M น Art. 83. &c. puifque toutes les perpendiculaires Bb, M.M à cet, axe, font coupées par le milieu aux points C, P, &c.

FIG. 40..

Par la même railon (fig. 38 ) lorsque l'axe Aa eft le premier, les portions des Hyperboles oppofées qui sont de part & d'autre de cet axe, tomberont exactement.

l'une fur l'autre,

AVERTISSEMENT,

On a fuivi jufqu'ici la même methode que dans l'EL-. lipfe, & on auroit pû la continuer jufqu'à la fin; mais, comme il faut néceffairement parler de certaines lignes. particulieres à l'Hyperbole, & qu'on peut par leur moïen prouver les mêmes chofes d'une maniere plus aifée, on a pris ce dernier parti.

DEFINITION S.

II.

Si l'on mene du centre C deux droites indéfinies CG, Cg, paralleles aux lignes Ab, AB, menées de l'extre mité A du premier axe Aa, aux deux extremités B,b, du fecond; ces deux droites feront appellées les Afymptotes de l'Hyperbole M A M ; & fi on les prolonge indéfiniment de l'autre côté du centre, elles feront nommées. les Afymptotes de l'Hyperbole oppofée Ma M.

12.

Le quarré de la partie CG, ou Cg, d'une afymptote, comprise entre le centre C, & la rencontre de la ligne AB, ou Ab, menée de l'extremité A du premier axe, à l'extremité B, ou 6, du fecond, eft appellé la Puissance de l'Hyperbole MA M, ou de fon oppofée Ma M.

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COROLLAIRE I

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COROLLAIRE I.

87. Il est évident que l'angle GCg, fait par les afymptotes d'une Hyperbole, ou fon égal BAb, eft moindre, egal, ou plus grand qu'un droit, felon que le fecond axe Bb eft moindre, égal,,ou plus grand que le premier a. Car lorfque le premier axe A a furpaffe le fecond Bb, fa moitié CA, furpaffe la moitié C B du fecond ; & par conféquent dans le triangle rectangle CAB, l'angle CAB eft moindre qu'un demi droit. Les deux angles égaux CAB, CAb, qui font enfemble l'angle BAb, feront donc moindres qu'un droit. Les deux autres cas le démontrent de la même maniére..

COROLLAIRE II.

88. A CAUSE des triangles femblables BAb, BGC, i eft clair que la ligne AB eft divifée par l'afymptote CG en deux parties égales au point G, & que CG eft la moitié de AB, puifque BC eft la moitié de Bb. On prouvera de même que Ab eft divifée par l'afymptote Cg en deux parties égales au point g, & que g eft la. moitié de Ab. Donc toutes les lignes CG, GA, GB,. cg,g4, gb, font égales entr'elles; puifqu'elles font égales chacune à la moitié de l'une ou l'autre des lignes AB, Ab, que l'on fçait être égales entr'elles, fuivant.. la définition se.

COROLLAIRE III.

89. LA puiffance d'une Hyperbole eft égale à la qua- triéme partie de la fomme des quarrés des deux demi-axes. Car nommant CA,t; CB, c; CG, m; on aura * BA—2 m, * Art. 88. · & à cause du triangle rectangle AC-B, le quarré A B (4mm)—tt+6c. Et par conféquent CG® (mm)

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1

FIG. 40.

PROPOSITION III.

Theorême.

90. Si l'on mene par un point quelconque M de l'une ou de l'autre des Hyperboles oppofees, une ligne droite Rr perpendiculaire au premier axe A a qu'elle rencontre en P, & terminée par les afymptotes en R&r; je dis que le rectangle de RM par Mr, est égal au quarré de BC, moitié du fecond axe Bb.

Il faut prouver que RM Mr BC.

Nommant les connuës CA, t; CB, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; les triangles femblables AC B., c Pr, & Acb, CPR, donnent CA (t). C B ou Cb ( c ) : : CP(x). Pr, ou PR. Donc RM, ou PRP M

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➡2±y; & Mr, ou PrP M=2¬y. Et

féquent RM M1—

Art. 81. pour yy

t

par con

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91. I1 eft clair que PM' (**—cc) eft toûjours

L

tt

moindre que PR ou P (**); Et par conséquent
Pr
que tous les points des Hyperboles oppofées tombent
dans les angles faits par leurs afymptotes; de forte qu'il
n'en peut tomber aucun dans les angles d'à côté.

I

COROLLAIRE II.

92. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofées, deux lignes droites Rr, Kk, perpendiculaires au premier axe, & terminées par les afymptotes : il eft évident que les rectangles RM Mr, KN« Nk, feront toûjours égaux entr'eux, puifqu'ils font égaux chacun au quarré de la

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