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tirer par le centre C, des paralleles aux deux droites
MS, Ms, menées de l'une des extremités M, du pre-
mier diametre Mm, aux deux extremités S, s, du se.
cond.

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Et réciproquement les deux afymptotes CD, cd, d'une Hyperbole étant données, avec l'un de fes points M; il ne faut pour avoir deux de ces diametres conjugués MCm, SCs, que tirer MH parallele à l'une des afymptotes Cd, qui rencontre l'autre afymptote CD en H; & l'ayant prolongée en S, en forte que HS foit égale à HM, mener les droites CM, CS. Car tirant MD parallele à CS, il eft clair à caufe des triangles femblables CHS, MHD, que HD est égale à HC; puifque M H est égale à HS; & qu'ainfi * MD eft * Art. 107% tangente en M d'où il fuit felon la definition 13o, que les lignes CM, CS, font deux demi-diametres conjugués.

Il est donc évident que deux diametres conjugués Mm, Ss, étant donnés de pofition & de grandeur, & fçachant de plus lequel des deux eft un premier diametre; on a les deux afymptotes CD, cd, avec l'un des points M, de l'une des Hyperboles oppofées.

Et réciproquement que les afymptotes CD, cd, d'une Hyperbole étant données, avec un de fes points M; on a deux de fes diametres conjugués Mm, Ss, de pofition & de grandeur; & l'on fçait lequel des deux eft un premier diametre; fçavoir, celui qui paffe par le point

М

donné M.

COROLLAIRE V.

IIS. UN fecond diametre Sc ́s, étant donné de pofition, pour en déterminer la grandeur, & trouver le premier diametre Mm, qui lui eft conjugué ; on lui menera par tout où l'on voudra au dedans de l'angle fait par les afymptotes, une parallele LI, terminée par les afymptotes en L, Li & par fon point de milieu 0, le milieu, premier diametre CO, qui rencontrera l'Hyperbole en

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un point M; par lequel ayant tiré les droites MS, M ́s, paralleles aux afymptotes; il eft clair, felon la définition 13°, que les points S, s, où elles rencontrent le fecond diametre SCs, donné de pofition, en déterminent la grandeur, & que le premier diametre MCm lui eft conjugué. Car menant par le point M, la ligne D d, parallele à Ll, & terminée par les afymptotes, elle fera coupé en deux également au point M puifque LI, l'eft au point 0 : & Art. 109. partant * elle fera tangente en M.

FIG. 44

De-là, il est évident qu'un fecond diametre SCs, étant donné de pofition, fa grandeur eft déterminée en forte qu'il ne peut en avoir qu'une feule; comme auffi la grandeur & la pofition du premier diametre Mm, qui lui eft conjugué.

COROLLAIRE VI

116. UN fecond diametre SCs, étant donné de pofition & de grandeur, avec fon parametre, & la pofition de fes ordonnées; il fera facile de trouver de pofi tion & de grandeur le premier diametre MCm, qui lui eft conjugué, avec fon parametre. Car ayant mené par le centre C, une parallele indéfinie aux ordonnées du diametre Ss, on marquera fur cette ligne deux points M, m, également éloignés de part & d'autre du centre c, en forte que Mm, foit égale à la moyenne propor tionnelle entre le fecond diametre Ss, & fon parametre.. Puis ayant trouvé une troifiéme proportionnelle aux deux lignes Mm, Ss, il est clair, felon les definitions 14 & 15, que Mm, fera le premier diametre conjugué au diametre Ss, & qu'il aura pour fon parametre cette troisième: proportionnelle.

PROPOSITION VII.

Theorême.

117. LE E quarré d'une ordonnée quelconque ON, au pres mier diametre. Mm, eft au rectangle de MO par Om, par

ties de ce diametre prolongé; comme le quarré de fon conjugué Ss, eft au quarré de ce premier diametre M m.

Il faut prouver que ON. MOxOm :: Ss'. Mm'. Ayant mené par l'une des extremités M, du premier diametre Mm, une parallele Dd au fecond diametre Ss, terminée par les afymptotes; elle fera tangente en M, felon la définition 13. Et par consequent * elle fera * Art. 109, coupée en deux également par ce point: c'eft pourquoi, fi l'on prolonge l'ordonnée O N (qui felon la définition 14° est parallele au diametre Ss) de part & d'autre du diametre Mm, elle rencontrera les afymptotes en deux points L,, qui feront également éloignés de part & d'autre du point 0. Cela pofé, foient nommées les données CM, ou Cm,t; CS, ou Cs, ou* MD, ou Md, Art. 113. & les indéterminées CO, x; ON,y; on aura à cause

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des triangles femblables C MD, COL ; cette propor

tion: CM (t). MD (c) :: CO (x), OL ou Ol—. Donc

Cx

t

L Nou LO±0 N➡➡y, & N l ou Ol No
LOON

t

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➡y; Et partant Z N N l-**-yy=* DM × Md * Art. 90.

tt

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cc. D'où il fuit que ON (yy). MO × 0 m ( x x—t t) :: Ss (4cc). Mm (4tt). Puifqu'en multipliant les Extrêmes & les Moyens on trouve 4t t y y = 4 c c x x 4 cctt, muliphant c'est à dire (en divilant par 4tt, & transposant à l'ordinaire) l'équation même précédente **-yy-cc. Ce qu'il falloit démontrer.

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tt

COROLLAIRE GENERAL.

L

118. Il est visible que ce qu'on a démontré dans la Propofition feconde *; par rapport aux deux axes A a, * Art. 79. Bb, s'etend par le moyen de cette Propofition à deux diametres conjugués quelconques, Mm, Ss. Or comme les articles 80, 81, 82, 83, 84 & 85, fe tirent de la feconde Propofition, & fubfiftent également, foit l'angle A CB, soit droit ou qu'il ne le soit pas ; il s'en

que

FIG. 45.

fuit

que fi l'on fuppofe dans ces articles que les lignes Aa, Bb, au lieu d'être les deux axes, foient deux diametres conjugués quelconques, ces articles feront encore vrais dans cette fuppofition: car leur démonftration demeure toûjours la même ; & il ne faut pour s'en convaincre entierement, que les relire en mettant par tout où se trouve le mot d'Axe, celui de Diametre.

PROPOSITION VIIL

Theorême..

119. SOIENT deux tangentes quelconques DE, FG, d'une Hyperbole MA, terminées par les afymptotes, & qui s'entrecoupent en un point O; je dis que les côtés des triangles CDE, CFG, autour de l'angle commun C, font réciproquement proportionnels.

Il faut prouver que CD. CF:: CG. CE.

Ayant mené par les points touchans M, A, les paralleles MH, AL, à l'afymptote CG; il eft clair à caufe des triangles semblables CDE, HDM, que C D eft dou *Art. 109. ble de CH, & CE double de HM; puifque DE eft* double de D M. Et à caufe des triangles femblables CFG, LFA, que C F eft double de C L, & CG double de LA; Art. 100. puifque FG, eft double de FA. Or CH. CL:: LA. HM. Et partant fi l'on prend le double de chaque terme, on aura 2 CH ou C D. 2 CL ou CF:: 2 LA ou CG, HM ou CE. Ce qu'il falloit démontrer.

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COROLLA IR E.

120. IL fuit de cette Propofition que les droites DG, FE, font paralleles entr'elles. D'où il eft évident :

1°. Que les triangles CDE, CFG, font égaux; car les triangles FDE, FGE, qui ont la même base FE, & qui font entre les mêmes paralleles DG, FE, font égaux; Et partant, fi l'on ajoûte de part & d'autre le

même

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