même triangle CEF, on formera les triangles CDE, CFG, qui feront égaux entr'eux. 2o. Que la ligne DE, eft couppée en même raison aux points M, O, que la ligne FG l'eft aux points A, o. Car menant par les points touchans la droite MA, il eft clair qu'elle fera parallele aux deux droites DG, FE; puifqu'elle couppe par le milieu les droites DE, FG, renfermées entre ces paralleles. 121. Sı PROPOSITION IX. Theorême. 47.. I par un point quelconque M, d'une Hyperbole, FIG. 46. & L'on mene une ordonnée M P à tel de fes diametres A a que Lon voudra, & une tangente MT qui le rencontre en T ; je dis que CP. CA :: CA. CT. en obfervant que les points Р T, tombent du même côté du centre Ċ, lorfque la ligne Aa eft un premier diametre ; & au contraire qu'ils tombent de part & d'autre du centre, lorfque c'est un fecond diametre. Premier cas. Lorsque la ligne Aa eft.un premier dia- FIG. 46. metre. On prolongera la tangente MT jusqu'à ce qu'elle rencontre les afymptores CD, CG, aux points D, E ; & l'ordonnée PM, jufqu'à ce qu'elle rencontre l'afymptote CD au point Non menera enfuite par le point A la ligne AK, parallele à DE, qui rencontre l'afymptote CG au point K & la tangente FG terminée par les afymptotes, qui fera. parallele ✶ à PM, & qui rencontre * Def. t au point o l'autre tangente DE. Čela pofé, AP eft à AC, ou FN à FC, en raison-com * pofée de FNà FD, ou de OM à OD, ou * de OA à OG, ou * Art. 1202 de EK à EG, & de FD à FC, ou de EG à EC. Or AT est à + Art. 1200TC, ou KE à EC, en raison compofée de E K à EG, & de EGà EC. Donc AP. AC.::.AT. TC. puifque les raisons compofantes de ces deux raisons sont les mêmes ; & par consequent APAC ou CP. CA:: ATTC ou C A.. ST. Ce qui étoit propose en premier lieu. K. Art. 80. 118. FIG. 48.& 49. Second cas. Lorfque la ligne Aa eft un fecond dia metre. Ayant mené par le centre C la ligne CK parallele à l'ordonnée PM, qui rencontre l'Hyperbole au point B, & la tangente MT au point R, & par le point touchant M la ligne M K parallele à Aa; il eft clair que CB fera le premier demi-diametre conjugué au second Aa, & qu'ainsi M K sera ordonnée à ce diametre. す Cela pofe, fi l'on nomme les données CA ou Ca, t CB, C ; & les indéterminées CP ou MK, x ; P M ou CK,y; on aura felon ce qu'on vient de démontrer dans le premier cas, CR; & partant R K ou CK R2 ~CR="3¬ct. Or les triangles semblables K RM, CRT, donnent KR (—). RC (—) :: MK (x), CP. CA :: CA. CT. Ce qui reftoit à démontrer. PROPOSITION X. Theorême. 122 S1 par un point quelconque M d'une Hyperbole qui a pour centre le point C, on mene une ordonnée MP à l'un ou à l'autre axe Aa, & une perpendiculaire M G à la tangente MT, laquelle paffe par M: Je dis que CP fera toùJours à PG en la raifon donnie de l'axe Aa à fon Para metre. Car nommant le demi axe C A ou Ca, t; & les indé*Art. 121. terminées CP, x; PM,y; on aura CT= tt =- Et xx tt x ز par tant PT-****, felon que Aa eft le premier ou le x fecond axe. Or les triangles rectangles femblables TPM, MPG, donnent TP (***). P M (y) :: PM x xxtt хуу D'où l'on tire cette proportion CP puifqu'en multipliant les moyens & les extrêmes, on 2 trouve le même produit xyy... Mais CPCA est à PM, comme l'axe Aa eft à fon parametre. Donc * Art. 8. GP eft auffi à PG en cette même raifon. Ce qu'il falloit démontrer. *I PROPOSITION XI Theorême.. 123. S d'un point quelconque M d'une Hyperbole, l'on F1.6. so tire à les deux foyers F, f, les droites MF, MF, je dis que la tangente MT, qui passe par ce point M, divife en deux également l'angle FMf. fur Car ayant mené les perpendiculaires FD, fd, la tangente MT; le premier axe Aa, qui paffe par les foyers F,f,& qui rencontre la tangente en 7 ; & l'ordonnée MP, à cet axe : on nommera les données CA ou Ca,t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée CP, x. mx L'on aura MF* (”—t). Mf("+t) :: T F ou C F * ́Art. 78. (m)~CT*{#). Tƒ ou Cf (m)+CT(). puisqu'en * Art. 121. multipliant les extrêmes & les moyens, on forme le même produit. Or les triangles rectangles femblables TFD, Tfd, donnent TFTf:: FD. fd. L'hypothe-nuse MF du triangle rectangle MDF, fera donc à l'hypothenuse Mf du triangle rectangle Mdf, comme le côté D F eft au côté df; & par confequent ces deux triangles feront femblables. Donc les angles FMD,fM d qui font oppofés aux côtés homologues DF, df, feront égaux entr'eux. Ce qu'il falloit démontrer.. FIG. SI. *Def. 11.& 13. * Def. 11. COROLLAIRE. 124. DE-LA étant prolongée indéfiniment de part & d'autre du point PROPOSITION XII. A Theorême. 125. La difference des quarrés de deux diametres conjagués quelconques Mm, Ss, eft égale à la difference des quarrés des deux axes A a, Bb. Il faut prouver que CS — CM'—CB-C Â3, ou qae CM-CS-CA-CB. Si l'on mene les droites MS, A B, elles feront paralleles à l'afymptote Cg, & de plus couppees en deux également par l'autre afymptote CG, aux points H, G; puifque les lignes Ms, Ab, font paralleles à cette afymp13. tote, & que les feconds diametres Ss, Bb, font coup*Art. 113. pés en deux également au centre C: C'est pourquoi fi l'on mene fur l'afymptote CG, les perpendiculaires A F BE, ML, SK, on formera les triangles G AF, G BE & H ML, HSK, qui seront semblables & égaux. Cela * Art. 88. pofé, foient nommées les données CG oụ * GA, m; GE ou GF, a; AF ou BE, b; & les indéterminées. CH, x; HM, y: ce qui donne Em+a, CF 2 a; CEEB ou C B = mm+2am+a a+bb, CFFA ou C Amm ---ou CA-mm-2am+aa+bb. Et partant CB—CA=4am. Or les triangles femblables GAF, HML, fourniffent GA (m). À F (b) :: HM (y). ML ou KS=2. Et GA (m). GF (a) :: HM by 238 |