Art. 10. COROLLAIRE II. 15. IL eft évident * qu'il n'y a que la ligne LAL pa 13. rallele aux ordonnées à l'axe . P, qui puifle être AP, tangente de la parabole M A M au point A origine de l'axe; puifqu'il n'y a que cette feule ligne qui paflant par le point A, & étant continuée de part & d'autre, ne rencontre la parabole en aucun autre point, & n'entre pas dedans. FIG. 4. 5. DEFINITION S... 9. Si l'on mene par un point quelconque M de la parabole un diametre M O, une ordonnée M P à l'axe A P, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe AP prolongé au delà de fon origine A, la partie AT égale à AP; toutes les lignes droites, comme NO, menées des points de la parabole parallelement à MT, & terminées par le diametre MO, font appellées Ordonnées à ce diametre. 10. Si l'on prend la ligne q troisième proportionnelle à AT, MT; cette ligne q fera nommée le Parametre du diame. tre MO. I 16. Si l'on nomme l'indéterminée AP ou AT, x; il eft clair que MT =qx, puisque AT (x). MT ; : MT.q. COROLLAIRE II. 17. A Cause du triangle rectangle MPT, le quarré 2 * Art. 7. MT (q x ) = P T2 (4 x x) + MP * (px); d'où en divifant par x, l'on tire q=4x+p. C'eft à dire que le parametre q d'un diametre quelconque MO, furpaffe le parametre p de l'axe du quadruple de AP (x). COROLLAIRE. III.: 18. Si l'on tire du point M au foyer F la droite MF, on aura MF*—APAF. Or felon la définition se. le le parametre de l'axe étant p➡4 AF, le parametre du PROPOSITION II Theorême. 19. Le quarré d'une ordonnée quelconque ON au dia- F16. 4. So metre MO, eft égal au rectangle du parametre q, par la par tie MO de ce diametre, prife entre fon origine M & la rencon tre O de l'ordonnée: Il faut prouver que ON'q MO., Ayant mené l'ordonnée NQ à l'axe AP, laquelle rencontre le diametre MO au point R, & tiré a H rallele à MP, on nommera les données AP ou AT, pa. x; P M ou RQ,y; & les indéterminées OR ou HQndelerminées a; MO ou PH, b; les triangles femblables TP M ORN, donneront cette proportion TP (2x). P M (y) :: OR(a), RN-2. Cela pofé. 2x Puisque (fig. 4.) NQ = R Q (y) — RN (~~), ou R N 2 x 2x (~~) — R Q (y), & AQ — AH (x + b) — HQ (a) ž lorfque le point M tombe du côté de l'axe AP par rapport au diametre MO; & qu'au contraire (fig. 5.) NQ =RQ ( y ) + RN (22), & AQ=AH (x+b) + HQ (a), lorsqu'il tombe du côté, opposé on aura aayy QN=yy+222 +^^"", & AQ=x+b+a, sçavoir 4xx dans le premier cas, & dans le fecond. Or* AP * ́Art. 8. (x). AQ(x+b±a) :: PM (yy). QN =yy+ ayy On formera donc en comparant ensemble ces B deux valeurs de QÑ ̊, l'égalité y y++?"—yy→ ^^yy, d'où en effaçant de part & d'autre yy 22, 4x x x divifant par yy, & multipliant par 4xx, l'on tirera OR (aa)=4bx. Mais les triangles femblables MPT, NRO, * Art. 16. donnent PT (4xx). OR (4b x) :: M T2 * \ q x ). O N =bq=q⋆ MO (b). Ce qu'il falloit, &c.. FIG. 4.& S. 9. L COROLLAIRE GENERAL. 20. Il est visible que ce qu'on a démontré dans la propofition premiere par rapport à l'axe AP, à fes ordonnées PM, & à fon parametre p s'etend > par le moyen de cette derniere propofition à un diametre quelconque MO, à fes ordonnées ON, & à lon parametre 4. Or comme les articles 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 & is se tirent de la premiere propofition, & fubfiftent egalement, foit que les angles AP M foient droits, ou bien qu'ils ne le foient pas ; il s'enfuit que fi l'on imagine dans ces articles que la ligne AP, au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites PM,QN, & pour parametre la ligne p, ils feront encore vrais dans cette fuppofition; car leur démonftration demeurera la même, & il ne faut pour s'en convaincre entierement , que les relire en mettant partout où se trouve le mot d'axe, celui de diametre. COROLLAIRE II. 21. COMME les articles 18 & OM ME les articles 10 & 15 fubfiftent avec la même force, lorfque la ligne AP au lieu d'être l'axe eft un diametre quelconque, tel que MO il s'enfuit que la ligne MT parallele aux ordonnées O N à ce diametre, eft tangente en M, & qu'il n'y a que cette feule ligne qui puiffe toucher la parabole en ce point. D'où l'on voit que d'un point donné fur une parabole, on ne peut mener qu'une feule tangente. 22. DE E LA il est évident felon la définition 9. que fi l'on mene par un point quelconque м d'une parabole, M une ordonnée MP à l'axe AP, & une ligne droite MT qui coupe fur l'axe prolongé du côté de fon origine A, la partie A Tegale à AP, cette ligne MT fera tangente en M. Et reciproquement que fi la ligne MT eft tangente en M, & qu'on mene l'ordonnee MP à l'axe; les parties AT, AP, de l'axe feront égales entr'elles. COROLLAIRE IV. 23. Si l'on imagine dans les définitions 9 & 10, & dans la derniere propofition, que la ligne AP au lieu d'être l'axe, foit un diametre quelconque, qui ait pour ordonnées les droites P M, QN; on verra que cette Fre. propofition fera encore vraye, puifqu'elle fe démontrera de la même maniere qu'auparavant, comme il est évident par la feule inspection de la fig. 6. où les triangles femblables donnent les mêmes proportions que dans le cas de l'axe. D'où il fuit 1°. Que le Corollaire précedent doit encore avoir lieu, lorfque la ligne AP au lieu d'être l'axe, eft un diametre quelconque. 2°. Que le diametre MO peut être l'axe dans cette fuppofition ; & qu'ainfi on peut regarder l'axe comme un diametre qui fait avec fes ordonnées des angles droits. 24. PROPOSITION IV. Theorême. 1 par un point quelconque M d'une parabole, l'on FIG. 7. mene une ordonnée MP à l'axe, & une perpendiculaire MG à ba tagente MT qui paffe par le point M, je dis que partie PG de l'axe fera toujours égale à la moitié de fon parametre p. Il faut prouver que PG= p. • Art. 7. FIG. 7. *Art. 22. Art. 5. FIG 8.89. Car à caufe des angles droits TPM, TMG, on aura TP (2×). P M (y) :: PM (y). PG==ip, en met. tant à la place de yy sa valeur * px. PROPOSITION V. Theorême. 25. S1 par un point quelconque M d'une parabole, l'on mene au foyer F la droite MF, un diametre MO, & une tangente TMS; les angles FMT, OMS, faits par la tangente TMS d'un côté avec la droite MF, & de l'autre avec le diametre MO, feront égaux entr'eux. Car menant l'axe AP qui rencontre en T la tangente TMS, & l'ordonnée MP à l'axe, on aura * TA+AF ou TF=AP+AF ou MF. Le triangle TFM sera donc ifofcelle; & par confequent l'angle FFM, ou font égal O MS, fera egal à l'angle FMT. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. 26. DE-LA il eft clair que la tangente TMS prolongée indefiniment de part & d'autre du point touchant M, laiffe la parabole toute entiere du côté de fon foyer F. Et comme cela arrive toûjours en quelque endroit de la parabole que tombe le point touchant M, il s'enfuit que cette ligne courbe eft concave dans toute fon etendue autour de fon foyer F. PROPOSITION VI. Problême. 27. UN diametre AP avec la tangente LAL qui passe par fon origine A, & fon parametre étant donnés ; trouver un diametre BQ qui fase de part ou d'autre avec fes ordonnées, un angle égal à l'angle donné K, fon origine B, & fon para metre. |