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Ayant mené par l'origine A du diametre donné la ligne A E qui falle avec ce diametre de part ou d'autre, l'angle PAE égal à l'angle donné K, & trouvé fur * Art. 14. cette ligne (prolongée de l'autre côté de A lorfqu'elle & 20. ne tombe point dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL) le point M où elle rencontre la parabole, on menera par le point du milieu de la ligne AM, une parallele D au diametre AP, qui rencontre la tangente AL au point D; & on divifera QD par le milieu en B. Je dis que la ligne BQ eft le diametre qu'on cherche, qu'il a pour origine le point B, & pour parametre une troifiéme proportionnelle à BQ, & Q A.

.de

Car 1°. La ligne AM étant divifée en deux parties égales au point par le diametre BQ, elle fera ordonnée✶ ✶ Art. 11. * part & d'autre à ce diametre ; & comme les lignes BQ, & 20. AP font paralleles entr'elles, l'angle B QA que fait le diametre BQ avec fon ordonnée QA fera égal à l'angle PAM égal à l'angle donné K ou fon complement à deux droits. 2°. Le point du milieu B de la ligne Q D fera l'origine de ce diametre, puifque AQ en eft une & 23. ordonnée. 3°. Le parametre du diametre BQ eft * la ⋆ Art. 19. troifiéme proportionnelle à BQ, QA.

* Art. 22.

Lorfque l'angle donnné K n'eft pas droit, il eft clair FIG. 8. qu'on peut mener de part & d'autre du diametre A P deux differentes lignes AE qui faffent avec ce diametre des angles égaux à l'angle donné K; & qu'ainsi on pourra toûjours avoir deux folutions differentes, en obfervant que fi l'une des deux lignes AE tomboit fur la tangente AL, le diametre donné AP fatis feroit luimême à la question. Mais lorsque cet angle K eft droit, comme l'on ne peut mener qu'une feule ligne AE qui FIG. 9. faffe avec le diametre AP un angle droit, il s'enfuit qu'on ne peut avoir alors qu'une folution ; & qu'ainsi * * Art. 23. le diametre cherché fera l'axe.

il est à remarquer que les deux diametres BQ, BQ, qui fatisfont au Problême lorfque l'angle donné K n'est F16. 10. pas droit, font femblablement pofés de part & d'autre

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de l'axe AP, & que leurs parametres font égaux : ce qui fe voit par la conftruction même, en fuppofant que le diametre donné AP foit l'axe, & en menant deux differentes lignes AE, AE de part & d'autre. Car les triangles rectangles ALM, ALM, & ADQ, ADQ étant visiblement égaux & femblables entr'eux, les lignes AD, AD; DQ, DQ; leurs moitiés BQ, BQ; & les * Art. 19. ordonnées QA, QA feront égales entr'elles; * & par confequent les parametres le feront auffi.

FIG. II.

COROLLAIRE.

28. IL eft donc évident, 1°. qu'il n'y a qu'un feul diametre qui faffe avec fes ordonnées des angles droits; & qu'ainfi il ne peut y avoir qu'un feul axe. 2°. Qu'on peut toûjours trouver deux differens diametres, qui faffent avec leurs ordonnées des angles égaux à un angle donné, lorsque cet angle n'eft pas droit ; que ces deux diametres feront femblablement pofés de part & d'au tre de l'axe, & qu'ils auront des parametres égaux.

PROPOSITION VII.
Problême.

29. UN diametre étant donné avec la tangente qui paffe par fon origine, & fon parametre ; décrire la parabole par un

mouvement continu.

PREMIERE MANIER E..

Si le diametre donné étoit l'axe, on la décriroit, felon l'article 4o; mais lorsqu'il ne l'eft pas, foit Mo le diametre donné, & TMS la tangente qui paffe par fon origine M. Cela pofé.

On prendra fur le diametre Mo prolongé au delà de fon origine M, la partie M D égale au quart de fon parametre ; & on tirera une perpendiculaire indéfinie DE à MD. On menera M F qui faffe avec la tangente TMS un angle FMT égal à l'angle O MS; & ayant pris M F égale à MD, on décrira felon la définition

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de l'axe AP, & que leurs parametres font égaux : ce qui fe voit par la conftruction même, en fuppofant que le diametre donné AP foit l'axe, & en menant deux differentes lignes AE, AE de part & d'autre. Car les triangles rectangles ALM, ALM, & ADQ, ADQ étant visiblement égaux & femblables entr'eux, les lignes AD, AD; DQ, DQ; leurs moitiés BQ, BQ; & les * Art. 19. ordonnées QA, QA feront égales entr'elles; * & fequent les parametres le feront auffi.

FIG. II.

L

COROLLAIRE.

par con

28. Il est donc évident, 1°. qu'il n'y a qu'un feul diametre qui faffe avec fes ordonnées des angles droits; & qu'ainfi il ne peut y avoir qu'un feul axe. 2°. Qu'on peut toûjours trouver deux differens diametres, qui faffent avec leurs ordonnées des angles égaux à un angle donné, lorsque cet angle n'eft pas droit ; que ces deux diametres feront femblablement pofés de part & d'autre de l'axe, & qu'ils auront des parametres égaux.

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29. UN diametre étant donné avec la tangente qui paffe par fon origine, & fon parametre ; décrire la parabole par un

mouvement continu.

PREMIERE MANIER E.

Si le diametre donné étoit l'axe, on la décriroit, selon l'article 4; mais lorsqu'il ne l'eft pas, foit Mo le diametre donné, & TMS la tangente qui paffe par fon origine M. Cela pofé.

On prendra fur le diametre M O prolongé au delà de fon origine M, la partie M D égale au quart de fon parametre ; & on tirera une perpendiculaire indéfinie DE à MD. On menera M F qui faffe avec la tangente TMS un angle FMT égal à l'angle O MS; & ayant pris M F égale à MD, on décrira felon la définition

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