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fres, & par confequent l'homogene ne peut dominer qu'il n'ait non feulement plus de chiffres, mais plus de tranches que le coefficient, & par la même raifon le coëfficient pourroit dominer, quoiqu'il eût moins de chiffres que l'homogene. Ce fera la même chofe dans le troifiéme degré, l'homogene érant coupé de trois en trois.

S'il arrive que ni le coëfficient ni l'homogene ne dominent l'un fur l'autre, on a les regles ordinaires. Cependant M. de Lagni ne laiffe pas de rappeller encore ce caslà à fa methode..

Lorfqu'une des racines ou valeurs de l'Equation est trouvée, M. de Lagni donne une regle pour trouver l'autre.

Nous ne le fuivrons pas dans l'application qu'il fait de fes Principes au cas irreductible, qui a été jufqu'ici l'écueil de l'Algebre. On verra toute cette matiere tournée d'un autre côté que celui par où elle étoit envifagée, & fans doute l'efperance de dompter le cas irreductible, inutilement attaqué depuis fi long-temps, ne pouvoit être permife, à moins que l'on ne prît une maniere toute nouvelle de l'attaquer.

GEOMETRIE

SUR LES GRANDEURS.
QU'ON NOMME PLUSQU'INFINIES.

L

Orfqu'une Grandeur eft exprimée par une fraction, v. les M, dont je fuppofe pour plus de facilité que le Nume- P. 13. rateur foit conftant, & le Dénominateur à deux termes

a

mier cas,

pre

dont le fecond foit variable, & en même temps retranché du premier, il peut arriver trois ças differens. Ou ce second terme du Dénominateur fera plus petit que le premier, comme il doit l'être naturellement, puifqu'il en eft retranché, ou il lui fera égal, ou il fera plus grand. Dans le le Dénominateur fera pofitif & fini, & la Grandeur exprimée par la fraction sera pareillement finie; dans le fecond cas, le Dénominateur fera Zero, ou plûtôt infiniment petit; & comme un Diviseur infiniment petit d'une Grandeur finie quelconque doit donner un Quotient infiniment grand, la Grandeur exprimée par la fraction fera infiniment grande, puifqu'elle eft le Quotient de la fraction, ou, ce qui eft le même, de la divifion propofée. Dans le troifiéme cas, le Dénominateur est negatif & fini; mais fi on conçoit les Grandeurs negatives comme moindres que Zero, ce Dénominateur ou Divifeur plus petit que Zero, doit donner un Quotient plus grand que celui qu'a donné le Divifeur égal à Zero, & par confequent la Grandeur exprimée par la fraction fera plus qu'infinie. La variation de fon Dénominateur l'aura donc fait paffer fucceffivement par ces trois états ou ordres differents, fini, infini, plus qu'infini.

Je les appelle ordres differents pour mieux déterminer l'idée qu'il en faut prendre. Car ce qu'on nomme ici plus qu'infini, ce n'est pas une grandeur infinie plus grande qu'une autre infinie, les grandeurs infinies peuvent être plus grandes ou plus petites les unes que les autres, felon tous les rapports poffibles des nombres, & cela fans fortir de l'ordre de l'infini, de même que les grandeurs finies ne fortent pas de l'ordre du fini pour varier entr'elles felon tous ces rapports, Mais ce qu'on entend par des gran. deurs plus qu'infinies, ce font des grandeurs qui étant forties de l'ordre de l'infini doivent s'élever à un ordre fuperieur, comme font les grandeurs finies lorsqu'elles paffènt à l'ordre de l'infini.

La nature de l'Hiperbole ordinaire confiderée par rapport à fes Afimptotes, confifte en ce que le produit d'une

Ordonnée

Ordonnée quelconque & de fon Abfciffe, eft toûjours égal au quarré d'une grandeur conftante. L'effence de cette équation, & ce qui la caracterise particulierement, est d'avoir d'un côté un produit de deux grandeurs indéterminées & variables, & de l'autre une puiffance de la grandeur conftante feule, & fi l'on imagine que le quarré de l'une des deux grandeurs variables multiplié par l'autre foit égal au cube de la grandeur conftante, on aura une équation du même genre, & par confequent une Hiperbole, mais une Hiperbole d'un degré plus élevé que l'Hiperbole commune. Il eft vifible qu'on peut pouffer cette idée fi loin qu'on voudra, & avoir une infinité d'Hiperboles de differents degrés.

On fçait que l'espace compris entre l'Hiperbole ordinaire & fes Afimptotes, quoiqu'il aille toûjours en décroiffant, s'étend à l'infini, & de plus eft infini, c'est à dire plus grand que tout efpace fini & déterminable, car ces deux chofes font differentes, & un efpace toûjours décroiffant qui s'étendroit à l'infini, pourroit n'être que fini, ou, ce qui est le même, égal à un espace fini. C'est ainsi que la fomme de tous les termes de la progreffion harmonique décroiffante à l'infini,,,,,, &c. eft infinie, & que la fomme de toute progreffion geometrique infinie décroiffante, telle que,,, &c. n'est que finie.

M. Wallis confiderant l'Hiperbole ordinaire entre fes Afimptotes, & d'autres Hiperboles d'un degré plus élevé pofées entre les mêmes Afimptotes, qui leur peuvent être communes, paroît avoir conçu trois efpeces d'Hiperboles, dont l'une avoit fon espace afimptotique fini, la seconde infini, la troifiéme plus qu'infini, ou s'il n'en a conçû que deux efpeces, il a crûlque, hors l'Hiperbole ordinaire, elles avoient toutes une partie de leur espace afimptotique finie, & l'autre plus qu'infinie.

Mais M. Varignon, tout accoûtumé qu'il eft aux merveilles de l'Infini, refufe celle-là. Il examine les Hiperboles de M. Wallis, & en tire les conclufions fuivantes. Une Hiperbole cubique, fi l'on veut, ayant le même 1796.

G

& fuiv.

fommet & les mêmes Afimptotes que l'Hiperbole ordinaire, s'approche toûjours plus qu'elle d'une de ces Afimptotes, & s'éloigne davantage de l'autre. Du côté de l'Afimptote dont elle s'approche davantage, son espace afimptotique n'est pas infini comme celui de l'Hiperbole ordinaire, mais fini quoiqu'infiniment étendu; du côté de l'autre Afimptote, fon efpace afimptotique eft infini, auffi-bien que celui de l'Hiperbole ordinaire, & il eft plus grand. En général toutes les Hiperboles, excepté l'Hiperbole ordinaire, ont leur efpace afimptotique fini d'un côté, & infini de l'autre, & M. Wallis ayant trouvé pour la partie' infinie de cet efpace une expreffion pofitive, & pour l'autre une expreffion negative, a crû que cette seconde expreffion donnoit une quantité plus qu'infinie, au lieu qu'elle ne reprefentoit précisément que la partie finie de l'efpace, prife du côté oppofé à la partie infinie.

C'eft-là tout l'effet du figne moins dans les grandeurs negatives. Il renverfe leur pofition, & la rend contraire à celle des grandeurs pofitives. Du refte les unes & les autres font également finies. Il faudroit pour le plus qu'infini de M. Wallis que les grandeurs negatives fuflent audeffous de Zero, & moindres que rien, mais c'est-là une idée absolument incomprehenfible. Il est fort naturel au contraire de concevoir qu'aprés qu'un dénominateur infiniment petit a rendu infinie une fraction telle que nous l'avons fuppofée d'abord, un dénominateur negatif la fait redevenir finie, mais contraire à ce qu'elle étoit auparavant, c'est à dire que fi, par exemple, elle exprime une ligne ou un espace, cette ligne ou cet efpace ont une pofition contraire à celle qu'ils avoient.

C'est ainsi qu'il faut entendre ce que M. Carré a fait voir pag. 20 dans fon Livre du Calcul Integral, que l'Hift. p. 100. de 1700* annonça. 'Il y démontre que tous les efpaces afimptotiques font ou finis, ou infinis, ou plus qu'infinis. Or nous fçavons prefentement que le plus qu'infini n'est que fini, & même M. Carré en se servant du terme de plus qu'infini eut soin d'avertir qu'il n'employoit cette

2

&

expreffion que parcequ'elle étoit devenue commune, promit qu'il y auroit quelque jour fur cette matiere un éclairciffement, qui eft celui que M. Varignon vient de

donner.

SUR LA METHODE

L

: DES INFINIMENT PETITS

Pour les Maxima & Minima.

E Livre de l'Analife des Infiniment petits a été fait v. les M. d'une maniere fi fçavante & fi fublime qu'on y peut p. 24. fouvent defirer des éclairciffements, mais auffi c'est tout ce qu'on y peut defirer, & les Réponses qu'on a faites aux differentes Objections propofées contre les Methodes de ce Livre, n'ont jamais été que des éclairciffemens, qui en ont confirmé les Principes.

Il est visible que la Tangente quelconque d'une Courbe eft l'hipotenuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés font la Soûtangente, & l'Appliquée menée à la Courbe par le point où la Tangente la touche. On fuppofe cette Appliquée perpendiculaire à l'axe. Tout ce qu'on cherche en cherchant une Tangente, ne peut être que fa grandeur, & l'angle qu'elle fait fur l'axe de la Courbe, & l'un & l'autre dépend du rapport qu'ont entr'eux les deux autres côtés du triangle dont elle eft l'hipotenufe. Si l'Appliquée & la Soûtangente font égales, la Tangente eft la racine du double du quarré de l'une deş deux, & elle fait avec l'axe un angle de 45 degrés. Plus la Soûtangente eft grande par rapport à l'Appliquée, plus la Tangente eft longue, & plus elle s'incline à l'axe, de forte qu'à la fin elle lui devient infiniment inclinée, ou, ce quieft la même chofe, parallele, & en même temps infinie, lorfque la Soûtangente eft infinie par rapport à l'Appliquée. Au contraire, fi la Soûtangente eft nulle par rap

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