Que comme le produit d'un petit arc quelconque de la Courbe, & du double de la hauteur d'où le corps auroit dû tomber pour acquerir la viteffe avec laquelle il décrit cet arc, eft au produit du rayon de la Dévelopée correfpondant, & de l'arc circulaire qui détermine la difference des deux rayons infiniment proches par lefquels agit la force centrale, ainfi cette force est à la pefanteur du corps.

Il ne faut plus qu'appliquer cette formule à telle Courbe qu'on voudra. Si, par exemple, on l'applique au Cercle, & qu'on fuppofe la force centrale dans le centre, on trouvera que parce qu'un petit arc quelconque de cette Courbe eft le même que l'arc circulaire de la propofition générale, la force centrale eft à la pefanteur, comme la hauteur déterminatrice de la viteffe du corps, eft à la moitié du rayon de la Dévelopée, qui eft le même que le rayon du Cercle, & c'eft là la propofition fondamentale de feu M. le Marquis de l'Hopital pour les forces centrales confiderées dans le Cercle. *

Si un corps décrivoit une Spirale Logarithmique, au centre de laquelle concouruffent tous les rayons de la force centrale, cette force feroit à la pefanteur, comme la hauteur déterminatrice de la viteffe du corps à un point quelconque feroit à la moitié du rayon correfpondant.

Dans la Parabole, fuppofé que fon foyer foit le centre où le rapporte la force centrale, cette force eft à la pefanteur comme la hauteur déterminatrice de la viteffe eft au rayon correfpondant.

Il faut remarquer que l'on peut faire ici deux fuppofitions differentes, l'une par laquelle les Ordonnées naturelles de la Courbe, c'est-à-dire celles que l'on y confidere ordinairement, ou qui entrent dans fon Equation, feront les mêmes que les rayons de la force centrale, L'autre, par laquelle ce feront differentes lignes. Les exemples du Cercle & de la Spirale Logarithmique font dans le premier cas, celui de la Parabole dans le fecond, mais

tous les deux font également compris dans la formule générale ; feulement le second demande un peu plus de Geometrie & de calcul.

Si on veut que les rayons de la force centrale au lieu de concourir tous dans un même point à une certaine diftance de la Courbe, ne concourent qu'à une distance infinie, c'eft à dire foient paralleles, le changement qui naît de cette fuppofition dans les Courbes que l'on confidere fe prefente d'abord. Le Parallelisme n'eft qu'un cas particulier du concours des Lignes.

On pourroit même fuppofer, comme a fait M. Vari*p. 73. & gnon dans l'Hiftoire de 1703* que plufieurs forces centrales agiroient ensemble fur un même corps, & que du mélange de leurs différentes actions refulteroit une certaine Čourbe. M. Varignon étend fans peine fa régle générale à cette hipothefe. Il donne auffi le moyen de comparer les forces centrales, & les pefanteurs de differens Corps mûs fur une même, ou fur differentes Courbes, ou d'un même Corps mû fur des Courbes differentes.

V. les M.

P. 235.

*

47.

Enfin pour ne laiffer rien échaper à fa Methode, il fait voir comment on en peut tirer, outre le rapport de la force centrale à la pefanteur, celui de cette force à ellemême en differens points de la Courbe, ou, ce qui eft la même chofe, celui de l'inégalité de fon action, qu'il avoit donné en 1700 indépendamment de la pefanteur.

SUR LES ISOPERIMETRES.

en

Oici le Problême qui caufa entre deux illuftres Freres 'cette espece de procés, dont on a parlé dans p. 146. & l'Hiftoire de 1705*. M. Bernoulli, maintenant Professeur Mathematique à Bafle, envoya à l'Academie au mois de Janvier 1701, un Paquet cacheté, intitulé, Methodes pour la Solution du Problème des Ifoperimetres, & recomman.. da en même temps qu'il ne fût ouvert qu'aprés que fet

M. Bernoulli fon frere auroit publié fon Analife de ce même Problême. Comme il y eut des difficultés fur cette publication, & qu'enfuite M. Bernoulli l'aîné eft mort, le paquet du Cadet n'a été quvert par l'Academie que le 17 Avril 1706, & on y a trouvé la Solution que l'on imprime préfentement. Il y étoit marqué qu'elle avoit été communiquée à M. Leibnits dés le mois de Juin 1698.

Tout le monde fçait qu'une circonference circulaire renferme le plus grand efpace ifoperimetre poffible, c'est à dire le plus grand efpace qui puiffe être renfermé dans une circonference de la même longueur.

Cette Propofition peut encore être exprimée de cette maniere; La fomme des Ordonnées d'un demi Cercle remplit un plus grand efpace que ne feroient les Ordonnées de toute autre Courbe égale en longueur à la demi circonference circulaire, & terminée aux deux extremités du même diametre.

Mais fi l'on demandoit, Quelle eft la Courbe dont les Ordonnées, non pas fimples, comme celles du Cercle, mais élevées à une puiffance quelconque déterminée, par exemple, au Quarré, rempliroient un plus grand efpace que ne feroient les Ordonnées de toute autre Courbe ifoperimetre, & décrite fur le même axe, qui feroient élevées à la même puiffance, on voit que le Problême deviendroit beaucoup plus général, & en même temps quiconque le voudra tafter fentira combien il fera devenu difficile. On entend affés que ces Ordonnées élevées à une puiffance quelconque feront representées par de's lignes droites qui auront entre elles les rapports de cette puiffance. Si, par exemple, la puiffance que l'on a déterminée eft le quarré, il faut trouver une Courbe dont les Appliquées qui étoient, fi l'on veut, comme 1, 3, 6, 10, &c. étant devenuës entre elles comme 1, 9, 36, 100, &c. rempliffent un plus grand efpace que les Appliquées de toute autre Courbe ifoperimetre qui auroient été par exemple, comme 1, 5, 12, 22, &c. & feroient devenuës comme 1, 25, 144, 484, &c. Il eft évident que les Or

données d'une Courbe élevées à quelque puiffance forment une nouvelle Courbe.

C'est là le Problême que feu M. Bernoulli propofa en 1697. M. Bernoulli fon frere qui étoit particulierement défiè, non-feulement le réfolut, mais le réfolut aprés l'avoir rendu encore plus général, & par confequent plus difficile. Il changea les puiffances des Appliquées en ce qu'il appelle fonctions. Les fonctions d'une Appliquée comprennent, outre toutes les puiffances, foit parfaites foit imparfaites, où l'on peut l'élever, toutes les multiplications ou divifions que l'on en peut faire par des gran. deurs constantes, ou par les Abfciffes élevées auffi à telle puiffance qu'on voudra, de forte, par exemple, que produit d'une Appliquée élevée au cube & d'une. grandeur conftante, divifé par le quarré de l'Abfciffe, eft une fonction de l'Appliquée. Les puiffances ne font qu'une ef pece dont la fonction est le genre.

le

Puifque dans la Geometrie des Infiniment petits les puiflances fe differentient, les fonctions se differentient auffi en general. M. Bernoulli trouve par un tour de Geometrie fort délicat & fort ingenieux, qu'afin qu'une Courbe foit telle que les fonctions de fes Appliquées rempliffent un plus grand efpace que les fonctions pareilles des Appliquées de toute autre Courbe ifoperimetre, il faut que dans tous fes points le Sinus de fa courbure ait une raison conftante à la fonction differentiée de l'Appliquée qui lui répond, mais differentiée avec une certaine modification que M. Bernoulli enfeigne. On fçait que le Sinus de la courbure d'une Courbe dans un point quelconque eft le Sinus de l'angle aigu infiniment petit, complément de l'obtus que font entre eux en ce point là deux côtés contigus du Poligone infini.

M. Bernoulli donne donc en général, & pour toutes les fonctions imaginables d'Appliquées l'Equation de la Courbe que l'on cherchera. Si l'on veut que la fonction des Appliquées ne foit que leur premiere puiffance, c'eft à dire les Appliquées mêmes, l'Equation générale ainfi

specifiée donne auffitoft le Cercle, dont effectivement les Appliquées forment le plus grand efpace poffible.

Pour élever encore le Problême à une plus grande univerfalité, M. Bernoulli fuppofe qu'au lieu des fonctions des Appliquées il s'agiffe des fonctions des Arcs, & qu'on cherche une Courbe dont les Arcs foient tels que des lignes droites qui representeroient une certaine fonction déterminée de ces Arcs rempliroient un plus grand efpace que d'autres lignes droites qui reprefenteroient la même fonction des arcs de toute autre Courbe ifoperimetre. La methode de M. Bernoulli va même encore plus loin, & elle permet que l'on combine comme on voudra les fonctions des Appliquées avec celles des Arcs, foit par addition, foit par fouftraction, &c. Il femble même qu'elle doit permettre, quoiqu'il ne le marque pas, que l'on donne une certaine fonction aux Appliquées, & une autre fonction differente aux Arcs. Quoiqu'il en foit, M. Bernoulli dans fes differentes fuppofitions trouve toujours que le Sinus de la courbure de la Courbe cherchée doit être en raison conftante avec une certaine quantité, qui est differente felon les hipothefes.

Indépendamment d'une auffi fine Geometrie que celle qu'employe M. Bernoulli, on peut prendre quelque idée de fa Theorie, & s'en faire une ébauche fuperficielle & générale, qui ne laiffera peut-être pas de plaire à l'Efprit. Une ligne étant donnée pour base d'un triangle, & de plus un fil d'une certaine longueur qui étant attaché aux deux extrêmitez de cette bafe doive faire les deux autres côtés du triangle, il est visible que le triangle ne pourra jamais avoir une plus grande aire, ou comprendre un plus grand efpace, que quand le milieu du fil formera l'angle du fommet, ou, ce qui eft la même chose, quand les deux moitiés égales du fil formeront les deux côtés du triangle, & par confequent feront deux angles égaux fur la bafe. Comme cela ne dépend en aucune maniere du rapport que la longueur du fil peut avoir à celle de la bafe, cette proprieté fubfiftera encore, lors