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même que la longueur du fil ne furpaffera celle de la bafe que d'une quantité infiniment petite, c'est-à-dire, lorfque l'angle du fommet fera de 180. degrés, moins les deux angles de la bafe qui feront infiniment petits, & il faudra afin que le triangle comprenne le plus grand ef pace poffible dans cette fuppofition, que les deux angles infiniment petits de la bafe foient égaux. Donc une Courbe quelconque étant divifée en arcs égaux infiniment petits, & chaque arc étant conçu avec fa foutendante, ou bafe fur les extrêmités de laquelle il fait deux angles, il faut, afin que ces petits efpaces triangulaires foient les plus grands qu'il fe puiffe, que les deux angles de chaque arc fur fa bafe foient égaux, &puifque tous les arcs ont été pris égaux, que tous ces angles fur toutes ces bafes infinies en nombre foient égaux entre eux. Or de cette égalité s'enfuivra neceffairement celle de tous les angles que feront entre eux les côtés du Poligone infini, ou, ce qui revient au même, celles des angles de la cour bure, & voilà pourquoi une courbure uniforme & toû jours égale eft liée avec la proprieté de comprendre le plus grand efpace poffible. Il eft manifefte que le Cercle étant conçu comme un Poligone d'une infinité de côtés égaux, ils font tous entre eux les mêmes angles. Toute autre Courbe divifée de la même façon, aura fes côtés infiniment petits tellement pofés entre eux qu'ils feront des angles differens, & fi l'on veut remonter jufqu'à la premiere fource, on trouvera que chaque petit arc égal étant conçu avec une bafe, il ne fera pas fur chaque extremité un angle égal.

De ce que, comme nous venons de le dire, l'uniformité de courbure eft liée avec la proprieté de comprendre le plus grand efpace poffible, on voit en général que quand ce ne font plus, ainfi que dans le Cercle, de fim. ples Appliquées qui doivent former ce plus grand efpace, mais des puiffances ou fonctions d'Appliquées, l'unifor mité de courbure requife ne doit plus confifter dans une parfaite égalité, telle que celle du Cercle, mais dans quelque

quelque rapport conftant de la courbure aux nouvelles grandeurs dont on fait dépendre le plus grand espace. Ainfi la recherche de M. Bernoulli fe reduit à rendre générale la propriété du Cercle, & à marquer les modifications qu'elle doit recevoir dans des cas plus compliqués. Une démonstration geometrique en eft plus parfaite & plus agréable à l'Efprit, quand elle va faifir le veritable principe de la question, & s'attache, pour ainfi dire, un tronc, & non pas à quelque branche.

Comme M. Bernoulli a bien fenti que fa Methode étoit fort déliée, il la confirme par un autre Problême qui fe reduit aux mêmes termes, & doit donner la même folution. C'eft celui de la courbure que doit prendre un Linge attaché par fes deux extrêmités, & chargé d'une liqueur quelconque. Il aura toûjours la même longueur, & fera ifoperimetre, quelque courbure qu'il prenne. D'ailleurs cette courbure doit être telle que toutes les gravitations des parties de la liqueur prifes enfemble faffent la plus grande fomme qu'il fe puiffe. Ce que M. Bernoulli appelle gravitation de chaque colonne de liqueur, c'eft fon action compofée & de fon poids, & de fa distance au point fixe, & de fon plus ou moins d'obliquité à la Courbe. On peut fuppofer la liqueur compofée de differents lits ou couches dont la pefanteur fpecifique fera inégale felon tels rapports qu'on voudra, & par on donnera aux gravitations des colonnes le même rapport qu'auroient des Appliquées de Courbes élevées à une certaine fonction. Voilà donc une Courbe qui doit donner une plus grande fomme que toute autre Courbe ifoperimetre, & qui eft précisément dans les mêmes termes que celle du premier Problême. M. Bernoulli qui avoit trouvé il y a long-temps la Courbe du linge char. gé de liqueur, fait voir fort clairement que fon Equation retombe dans celle qu'il donne ici pour les Courbes ifoperimetres en général. Nous avons obfervé dans l'Hift. de 1705.* que cette Courbe du Linge eft encore la mê- *p. 144. me que l'Elastique de feu M. Bernoulli,

1706.

K

V. les M. P-340.

Il eft aifé de juger par toutes ces recherches jufqu'à quelle fubtilité & à quelle fineffe la Geometrie a été portée depuis un temps, & quelle eft la Methode à laquelle on doit de fi grands progrés.

SUR LES ROULETTES
EN GENERAL.

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Ers le milieu du Siècle paffé, les Geometres fe mirent à examiner à l'envi les uns des autres la Courque décriroit un point quelconque de la circonference d'un Cercle, qui comme une Roue de carroffe avanceroit fur un plan en ligne droite, & dans le même temps tourneroit fur lui même. Cette Courbe fut appellée Roal tie ou Cycloide. Le Cercle eft appellé Générateur,& la ligne droite fur laquelle il fe meut Bafe de la Roulette. Il eft vifible que puifque par la génération de la Roulette ou Cycloïde le Cercle générateur applique fucceffivement tous fes points fur la base, elle est égale à fa circonference, ou, ce qui revient au même, que dans le mouvement compofé du droit & du circulaire par lequel fe forme la Cycloïde, le droit & le circulaire font

egaux.

Comme l'Efprit qui regne dans la Geometrie moderne va toûjours à rendre les Theories plus générales, on a confideré que le Cercle generateur au lieu de fe mouvoir fur une ligne droite pouvoit fe mouvoir fur la circonference d'un autre Cercle, foit égal, foit inégal, & en ce cas on appelle Epicycloïde la Courbe que décrit um point quelconque de fa circonference. M. de la Hire a imprimé en 1694. un Traité des Epicycloïdes par rapport aux Mechaniques.

Mais pourquoi s'affujettir à ne prendre le point décrivant que fur la circonference d'un Cercle ? on peut le prendre par tout où l'on voudra fur le plan du Cercle gé

nérateur, soit au dedans, soit au dehors de fa circonference. Si on le prend au dedans, & que la bafe foit une ligne droite, la Roulette fera allongée, c'est à dire, que dans fa formation le mouvement droit l'emportera sur le circulaire ; fi on le prend au dehors, elle fera accourcie, parce que le mouvement circulaire l'emportera fur le droit. Et pour s'en convaincre, il n'y a qu'à confiderer que l'on ne peut prendre le point décrivant plus au dedans du Cercle générateur qu'en prenant fon centre pour ce point, ni plus au dehors, qu'en le prenant infiniment loin du Cercle générateur. Or dans le premier cas, il eft vifible que la Roulette n'eft qu'une ligne droite, & dans le fecond, ce n'eft qu'un Cercle concentrique au générateur, ou plutoft ayant pour centre le générateur lui-même, qui ne doit plus paffer que pour un point. Donc le point décrivant étant pris au centre du Cercle générateur, le mouvement qui forme la Roulette n'eft que droit, depuis le centre jufqu'à la circonference, il l'emporte toujours fur le circulaire, & fon avantage va toujours en diminuant ; à la circonference, il eft égal au circulaire ; au-delà de la circonference, le circulaire l'emporte, & fon avantage diminuë toujours depuis ce terme.

Pourquoi encore ne faire rouler que des Cercles fur des Cercles ou fur des lignes droites? il n'y a point de Courbe qui prife pour génératrice, ne puiffe rouler, c'est à dire appliquer fucceffivement tous fes points fur une autre Courbe immobile prife pour base, & un point décrivant quelconque déterminé fur la circonference ou fur le plan de la génératrice formera par fon mouvement une nouvelle Courbe, qui fera une Roulette, car c'est le nom général qu'on donne à toutes les Courbes formées de cette maniere.

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Il y a plus. Sous l'idée générale de lignes Courbes, on peut comprendre les lignes droités, en fuppofant qu'elles foient des circonferences de Cercles dont le rayon est infini, & cette hypothese qui eft peut être une des plus dures, & des plus difficiles à digerer de toutes celles qui

fe tirent de l'Infini, eft cependant neceffaire en plufieurs occafions, admise par tous les grands Geometres, & parfaitement exempte d'erreur. On peut donc imaginer une Courbe quelconque qui roule fur la circonference d'un Cercle infini, c'est à dire fur une ligne droite, ou reciproquement la circonference d'un Cercle infini qui roule fur une Courbe quelconque. Dans ce dernier cas, il est évident qu'une ligne droite ne peut rouler autrement fur une Courbe qu'en s'y appliquant de maniere qu'elle en foit toujours la Tangente en quelqu'un de fes points. La bafe Courbe eft alors la même chofe que ce qu'on ap*V. Hift. pelle une Dévélopée *, & la Roulette formée par un point de 1701. p. décrivant quelconque pris fur la ligne droite génératrice, est la Courbe née du dévelopement de la bafe. Ainfi la Theorie des Dévélopées fait partie de celle des Roulettes élevée à fa plus grande generalité.

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C'eft dans cette generalité infinie que M. de la Hire entreprend d'examiner les Roulettes. Pour cela, il prend l'hipothese des Infiniment petits. Il fuppofe un point décrivant pris dans le plan de la ligne generatrice. Un côté Infiniment petit de la generatrice confiderée comme un Poligone infini s'applique à un autre côté infiniment pe tit de la base, c'est à dire, que la géneratrice & la base se touchent, & alors le point décrivant a neceflairement une certaine pofition, & comme il appartient toujours à la Roulette, voilà le premier inftant de fa formation. Enfuite les deux côtés infiniment petits tant de la gene ratrice que de la bafe, qui fuivent immediatement les deux premiers, viennent par le mouvement que l'on fuppofe dans la generatrice à s'appliquer l'un fur l'autre, c'est à dire que la generatrice vient à toucher la base en un autre point, ce qui détermine le mouvement du point decrivant, felon qu'il eft pofé fur la generatrice, & par confequent c'eft-là le fecond inftant de la generation de la Roulette, qui continue à fe former par de femblables mou vements. Nous ne pouvons entrer ici dans le détail geometrique, il confifte en la confideration de certains Trian

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