fera alors defcendüe au point le plus bas, & ne pourra enfuite que remonter, ce qui fait un rebroussement. Or quand la Parabole touche la bafe par fon fommet, il est évident que la plus petite ligne qu'on puiffe mener du foyer à la circonference de la Parabole, eft alors perpendicu laire à la base. La même Regle fubfiftera, fi l'on conçoit que le point décrivant devienne infiniment proche de la circonference de la generatrice, c'est à dire, foit pris fur cette circonference. Alors il faudra qu'il foit fur la base, afin que la Roulette ayant defcendu remonte, ou reci. proquement, ou en un mot, rebrouffe, ce qui eft affés clair par foi-même.

De là M. de la Hire paffe à la rectification & à la quadrature des Roulettes. Les longueurs des Courbes font toûjours des fommes infinies d'arcs infiniment petits, & les fuperficies font des fommes infinies d'efpaces infiniment petits. Quand ces arcs ou ces efpaces fuivent des progreffions dont la nature peut être connue, & que d'ailfeurs on peut avoir les fommes de ces progreffions, on a les longueurs, ou les fuperficies cherchées. Tout fe reduit là, mais il y a bien des voyes differentes pour y arriver. Celles que prend M. de la Hire font des plus fimples. It quarre & rectifie d'abord les Epicycloïdes, parce qu'elles comprennent les Cycloïdes, lorfque le rayon de leur bafe eft fuppofé infini, & que par confequent la base eft une li gne droite. Il trouve que l'efpace de l'Epicycloïde en géneral, eft à celui du Cercle génerateur, comme trois fois le rayon de la base plus deux fois le rayon du Cercle génerateur est au rayon de la base, d'où il fuit évidemment que l'efpace de la Cycloïde eft triple de celui du Cercle génerateur; car quand l'Epicycloïde devient Cycloïde le rayon du Cercle génerateur qui eft fini difparoift dans cette Analogie. De même la circonference de l'Epicycloïde en géneral eft à quatre fois le diametre du Cercle generateur, comme le rayon de la base plus celui du Cercle génerateur, eft au rayon de la base, d'où il suit que la circonference de la Cycloïde eft égale à quatre fois le

diametre du Cercle génerateur. M. de la Hire paffe enfuite aux Roulettes allongées ou accourcies, enfin à la Roulette dont la bafe eft un Cercle, & la géneratrice une ligne droite, où l'on prend un point quelconque pour dé. crivant, c'est à dire à la Courbe qui naift du dévelopement du Cercle. Elle peut devenir par un leger changement la Spirale d'Archimede.

Il est aifé de conclurre de toute cette Theorie qu'il n'y a point de Courbe qui ne puisse être confiderée comme une Roulette, car il n'y en a aucune qui ne puiffe avoir été formée par le mouvement d'un certain point décrivant pris fur le plan d'une certaine géneratrice qui aura roulé fur une certaine base. Delà naiffent ces Problêmes, Une Courbe prife pour Roulette étant donnée avec fa base, trouver la génératrice, ou, Une Courbe étant donnée avec fa génératrice, trouver la bafe, ou, La Bafe & la génératrice avec le point décrivant étant données, trouver la Roulette, M. de la Hire apporte quelques solutions qui, naissent de fa Theorie generale, & qui peuvent fervir d'exemples pour tres cas que ceux qu'il propofe.

d'au

SUR UNE PROPOSITION

DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE.

Ique

a dans la Geometrie Elementaire des Propofitions v. les M. l'on retrouve prefque par tout, & à chaque mo- P 319. ment, & qui font fi fouvent employees, qu'il femble que toutes les autres foient devenues inutiles. Telle est la fameufe Quarante-feptiéme du premier Livre d'Euclide, fi digne de l'Hecatombe que l'on dit qu'elle coufta à son Inventeur. Telle eft auffi celle de la fimilitude des Triangles. Il arrive le plus fouvent que les plus fublimes recherches n'empruntent de toute la Geometrie Elementaire que ces deux Propofitions.

M. de Lagni croit qu'il y en a encore quelques-unes

ou inconnuës ou negligées, qui pourroient tenir à peu prés le même rang. On peut prendre pour exemple celle qu'il démontre ici, Que dans un Parallelogramme quelconque la fomme des quarrés des deux Diagonales eft égale à la fomme des quarrés des quatre Coftés.

Il est évident d'abord que la quarante-feptième du premier Livre d'Euclide n'eft qu'un cas particulier de cette propofition, car fr le Parallelogramme eft rectangle, il s'enfuit que les deux Diagonales font égales, & par confequent le quarré d'une Diagonale, ou, ce qui eft la même chofe, le quarré de l'Hypotenufe d'un angle droit, eft égal aux quarrés des deux Coftés. Mais fi le Parallelogramme n'est pas rectangle, & fi par confequent les deux Diagonales ne font pas égales, ce qui eft le cas le plus géneral, la propofition devient d'un ufage fort étendu.

Elle peut fervir, par exemple, dans toute la Theorie des Mouvements compofés, d'où dépendent toutes les recherches de Mechanique, & plus géneralement pref que toutes celles qui ont quelques mouvements pour objet.

Dans un parallelogramme qui n'eft pas rectangle, la grande Diagonale eft la foutendante d'un angle obtus; & La petite eft la foutendante d'un angle aigu, complement de cet obtus. La grande eft d'autant plus grande, & la petite d'autant plus petire que l'angle obtus eft plus grand, de forte que fi cet angle obtus en croiffant toûjours devient infiniment grand par rapport à l'aigu, ou, ce qui est la même chofe, fi les deux côtés conjoints ou inégaux du parallelogramme font pofés bout à bout en ligne droite la grande diagonale eft la fomme même de ces deux côtés, & la petite eft nulle. Si on connoît deux cotés conjoints du Parallelogramme & l'angle qu'ils font entre eux, il eft aifé de trouver en nombres la foutendante de cet angle, c'eft à dire une des diagonales du parallelogram me, aprés quoi la propofition de M. de Lagni donne l'autre diagonale, ce qu'on peut voir trés-facilement. Or cette feconde diagonale qu'on trouve ainfi eft la ligne. que

décriroit un corps pouffé en même temps par deux forces qui auroient entre elles le même rapport que les deux côtés conjoints, & agiroient felon ces deux directions, & ce corps décriroit cette diagonale dans le même temps qu'il auroit décrit l'un ou l'autre des deux côtés conjoints, s'il n'avoit été pouffé que par la force corres pondante. C'est-là un des grands ufages de laPropofition, car le rapport de deux forces, & l'angle qu'elles font entre elles étant donnés, il est souvent neceffaire de déterminer en nombres la ligne que décriroit dans un certain temps un corps pouflé par ces deux forces enfemble. Ce n'eft pas que deux Methodes ordinaires & con. nuës, l'une Trigonometrique, l'autre Geometrique & Analitique ne puffent refoudre ce Problême; mais M. de Lagni fait voir que la premiere demande 21 operation, la feconde 15, & que la fienne n'en demande que 7. Elle a même encore cet avantage qu'elle épargne des divifions & des extractions de racines, qui prefque toûjours produisent des fractions, qu'on ne peut negliger fans erreur, ou employer dans le calcul fans le rendre beaucoup plus Long & plus penible.

Si les deux côtés conjoints d'un parallelogramme font donnés de grandeur feulement, il eft vifible qu'ils peuvent faire entre eux une infinité d'angles differens, & puifque le rapport des deux diagonales entre elles, dépend de l'angle de ces deux côtés, on en peut former une infinité de parallelogrammes dont les deux diagonales auront entre elles un rapport different. C'eft là un Problême qui a une infinité de folutions, & même, à le confiderer encore de plus prés, une infinité d'infinités dė folutions. Car que les deux côtés donnés de grandeur faf. fent d'abord un angle de 180, c'est à dire, foient posés bout à bout en ligne droite, ils peuvent faire enfuite des angles toûjours décroiffants felon la progreffion foudouble infinie, ou felon la progreffion foutriple pareillement infinie, en un mot, felon une infinité de progreffions differentes, dont chacune eft infinie, M. de Lagni

donne cette infinité d'infinités de folutions en deux formules générales, dont l'une eft pour deux côtés égaux, & l'autre pour deux côtés inégaux, & il remarque en même temps que ces fortes de Problêmes ne font pleinement refolus que de cette maniere, car ni plufieurs Solutions, quel qu'en fût le nombre, ni une infinité, ni même plufieurs infinités ne comprendroient tout. Ce n'eft pas cependant que toutes ces folutions foient toûjours differentes entre elles; quelques-unes de celles qui font entrées dans un certain ordre, peuvent le retrouver dans un autre; ainfi lorsque des angles décroîtront toûjours depuis. celui de 180 felon une certaine progreffion, quelques-uns de ceux qui étoient compris dans la progreffion foudouble 16, 8, 4, 2, 1, &c. fe retrouveront dans la progreffion fouquadruple, 16, 4, 1, &c. mais on reconnoît aflés ailément en quels endroits ces répetitions doivent arriver, & comme elles ne font qu'en nombre fini dans chaque ordre, elles y laiffent l'infini en fon entier.

Ce Problême des Diagonales du Parallelogramme a du rapport avec celui du Triangle rectangle en nombres, qui a tant exercé les Arithmeticiens, & les Algebriftes.. Ils ont cherché des regles pour déterminer tous les nombres qui pris trois à trois euffent la proprieté du Triangle rectangle, c'est à dire qui fuffent tels que le quarré de l'un fût égal aux quarrés des deux autres, & ils ont infiniment étendu & enrichi cette Theorie. Ici, il eft question de trouver une fomme de deux quarrés double de deux autres quarrés donnés, & ce peut être une affez ample matiere à de nouvelles recherches, On peut obferver en paffant que comme les nombres 3,4,5, font les plus fimples qui ayent la proprieté du triangle rectangle, ainfi S & 10 pris pour côtez, & 9 & 13 pour diagonales font les plus fimples qui fourniffent un exemple de la Propofition > de M. de Lagni.

Il en fait auffi une application à un fujet plus détourné que les Mouvemens compofés, & auquel on peut croire qu'il s'intereffe davantage. Nous avons dit dans l'Hiftoire