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de 1703*, que M. de Lagni trouve que les Logarithmes, p. 61. 62. tels qu'ils font jufqu'à prefent, font défectueux & arbi- &64. traires, & qu'il prétend leur en fubftitüer d'autres plus parfaits & naturels, tirés de fon Arithmetique Binaire. D'un autre côté, il faut fçavoir que l'Hiperbole prise entre fes Afimptotes a cette proprieté, que fi on prend une Afimptote pour diametre, qu'on la divise en parties égales, & que par toutes ces divifions qui formeront autant d'Abfciffes toûjours croiffantes également, on tire des Ordonnées à la Courbe, paralleles à l'autre Afimptote, les Abfciffes representeront la fuite infinie des Nombres naturels, & les efpaces Afimptotiques ou Hiperboliques correfpondants, representeront la fuite des Logarithmes de ces Nombres. Pour prendre quelque idée de cette verité, il n'y a qu'à confiderer que le rapport arithmeti que eft toûjours le même dans la fuite des Nombres naturels, puifqu'ils croiffent toûjours d'une unité, & que leur rapport geometrique décroît toûjours, de forte qu' entre deux nombres voifins il eft toûjours d'autant plus petit, qu'ils font plus avancés dans la fuite, ou, ce qui eft la même chofe, plus grands. Ainfi le rapport geometrique de 99 & de 1oo eft plus petit que celui de 9 & de 10, ou, ce qui revient au même, 99 & 100 approchent davantage de l'égalité, non pas arithmetiquement, mais geometriquement, parce que 1 qui eft la difference de part & d'autre eft moins confiderable par rapport à 100, que par rapport à 10. Si la fuite naturelle pouvoit avoir une fin, on conçoit que 1 difference des deux derniers nombres feroit infiniment petit par rapport à eux, & par confequent les laifferoit égaux. Les Logarithmes font des nombres qui par leur rapport arithmetique reprefentent le rapport geometrique des nombres naturels, & par confequent le rapport arithmetique des Logarithmes dé. croft toûjours, quoique les Logarithmes croiffent toû jours, ainfi que les nombres naturels correfpondants, ou, ce qui eft la même chofe, les Logarithmes croiffent toû jours, mais de moins en moins. Or telle eft auffi la na

ture de l'efpace compris entre une Afimptote & l'Hiperbole, qu'il croît à l'infini, mais toûjours de moins en moins, parce que l'Hiperbole s'approche toûjours da vantage de l'Afimptote, & il croît de moins en moins felon la même proportion que les Logarithmes.

Cette proprieté fe trouve dans toutes les differentes Hiperboles, car on fçait que par un même point du Cone pris pour fommet, il fe peut former une infinité d'Hiperboles differentes, auffi bien que d'Ellipfes, au lieu qu'il ne fe pourroit former qu'une Parabole ou qu'un Cercle. Les Alimptotes de ces differentes Hiperboles font toutes entre elles un angle different, & leurs efpaces Afimptotiques, quoique tous infinis, font inégaux, parce que deux Hiperboles differentes, dont chacune s'approche toûjours de plus en plus de fes Afimptores, ne laiffent pas de s'en approcher inégalement. Delà vient qu'une Afimptote de chacune de ces deux Hiperboles ayant été divisée en parties égales entre elles, & égales aux divifions de l'autre, les efpaces afimptotiques correfpondants feront inégaux, & par confequent à la même fuite des nombres naturels, il peut répondre differentes fuites de Logarithmes; & en effet puifque la maniere de conftruire les Tables des Logarithmes eft de prendre o ou oo ou enfin tant de Zero qu'on voudra pour Logarithme de 1; 100 ou 1000 &c pour Logarithme de 10; 200 ou 2000 &c pour Logarithme de 100, & toûjours ainfi en prenant les nombres naturels felon la progreffion de 1 à 10, aprés quoi les Logarithmes de tous les nombres interpofés entre 1 & 10, entre 10 & 100 &c font déterminés par ces premiers Logarithmes des nombres 1, 10, 100 &c, il est clair que fi au lieu de la progreffion de 1 à 10, on eût pris, par exemple celle de 1 à 8, & qu'on eût donné aux nombres 1, 8, 64 &c les mêmes Logarithmes qu'on a donnés dans l'autre hipothese aux nombres 1, 10, 100 &c. les Logarithmes des nombres interpofés, 2, 3, 4, &c. auroient été dans la feconde hipothefe differents de ceux de la premiere, & par confequent la même fuite des

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nombres

nombres naturels peut recevoir differentes fuites de Logarithmes, ou, ce qui revient au même, une infinité d'Hiperboles differentes peuvent reprefenter par leurs elpaces afimptotiques les Logarithmes des nombres naturels. Pour déterminer la fuite des Logarithmes, il faut donc faire un choix arbitraire de quelque Hiperbole, mais il eft certain que ce choix fera d'autant meilleur, qu'il fera moins arbitraire, & plus fondé en raison. Or la plus fimple de toutes les Hiperboles eft l'équilatere, c'est à dire celle dont les Afimptotes font entre elles un angle droit, car quand deux lignes peuvent faire entre elles differents angles, le droit eft en quelque forte le plus naturel de tous, & c'eft inconteftablement celui qui produit dans les figures les proprietez les plus fimples. Delà M. de Lagni conclut que pour regler les Logarithmes il auroit falu choifir l'Hiperbole équilatere, & on auroit trouvé ceux que fon Arithmetique Binaire lui donne.

Au lieu de fuivre cette Arithmetique Binaire, ou, ce qui eft la même chofe, de couper toûjours la fuite des nombres de deux en deux, on l'a coupée de dix en dix, & on s'eft affujetti à cet usage dans la détermination des Logarithmes. Ceux que l'on a établis répondent donc à une autre Hiperbole que l'équilatere, & M. de Lagni a cherché quelle eft cette Hiperbole, c'est à dire, quel angle font fes Afimptotes. Comme toute Hiperbole peut être décrite par le moyen d'un Parallelogramme pris fur fes deux Afimptotes, & dont l'angle des Afimptotes eft un des angles, M. de Lagni trouve par fa Propofition quelles font les Diagonales du Parallelogramme qui a formé l'Hiperbole à laquelle répondent les Logarithmes communs, & par ces Diagonales il détermine que l'angle des Afimptotes de cette Hiperbole eft de 25° 44′ 25′′ à peu prés. La grandeur de cet angle irreguliere & bifarre, pour ainfi dire, fait affés voir qu'il n'auroit pas dû être préferé à l'angle droit, & que les Logarithmes dont l'Hiperbole équilatere feroit le modele, meriteroient le titre de naturels, à l'exclufion de tous les autres, qui ne pourroient 1706.

M

V. les M.

P. 490.

*p. 65. &

66.

* p. 81.

être traités que d'arbitraires. Cela juftifie ce que M. de Lagni a déja avancé plufieurs fois fur les Logarithmes communs, & ce n'eft peut-être pas un des moindres fruits de la Propofition des Diagonales des Parallelogrammes, que de lui avoir aidé à mettre fa pensée & sa prétension dans tout fon jour.

SUR LES RATONS

DES DEVELOPE ES DES COURBES

Conçues comme formées d'Elements Courbes.

N

Ous avons dit cy-deffus* que quand les Courbes se formoient des Mouvements compofés, & par que l'un des deux étoit acceleré ou retardé, on ne pouvoit fe difpenfer de regarder les Arcs infiniment petits ou Elements de la Courbe, comme courbes eux-mêmes. Jufqu'ici on les a pris pour droits dans leSiftême des Infiniment petits, & dans tous les calculs qui en dépendent, & comme cette diverfité d'hipothese pourroit faire quelque embarras, M. Varignon donne dans la recherche des Rayons des Developées un exemple de la maniere dont il faut operer fur les Elements courbes.

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Il est bien vrai, & nous l'avons dit dans l'Hift. de 1701. en traitant cette matiere, & cy.deffus à l'endroit déja cité, que les Geometres avoient avancé qu'une Courbe formée par le dévelopement d'une autre pouvoit être conçue comme compofée d'une infinité de petits arcs circulaires tous décrits de differents centres, & fur differents rayons. Mais cette idée n'a été proposée que pour mieux faire entendre la géneration des Courbes par le dévelopement, & elle n'a jamais fervi de principe aux calculs geometriques que l'on a faits pour trouver les rayons des Dévelopées. Elle le devient maintenant pour la premiere fois entre les mains de M. Varignon.

Quand on imagineroit une compofition de mouvements qui produiroit un Element courbe d'une autre courbure que la circulaire, parabolique, par exemple, ou hiperbolique, on feroit toûjours en droit de le regarder comme circulaire, parce qu'étant infiniment petit il n'auroit nulle proprieté particuliere ni de la Parabole ni de l'Hiperbole, & que tout fon caractere geometrique confifteroit en ce que le rayon de la Dévelopée lui feroit perpendiculaire, ce qui eft une proprieté du Cercle. M. Varignon prend donc tous les Elements courbes pour circulaires.

Quelque Element fuppofé courbe que l'on prenne dans une Courbe quelconque, il fera donc toûjours commun & à cette Courbe, & à un Cercle qui auroit pour rayon celui de la Dévelopée, ou, ce qui eft la même chose, le Cercle touchera la Courbe en cet Element-là. Mais comme le rayon de la Dévelopée varie inceffamment, & infiniment peu à chaque inftant, un autre Cercle décrit fur un rayon infiniment proche du premier, & plus grand ou plus petit d'une difference infiniment petite, aura auffi l'arc circulaire immediatement fuivant commun avec la Courbe, ou la touchera en cet Element. Et parce que deux Cercles décrits de deux centres infiniment proches, & fur deux rayons infiniment peu differents, ne font que le même Cercle fini, le même Cercle décrit fur un rayon quelconque de la Dévelopée, aura deux de fes arcs infiniment petits communs avec la Courbe, ou, ce qui revient au même, exactement appliqués fur deux arcs de la Courbe; & fi l'on veut pouffer encore cette idée plus. loin, les deux arcs circulaires à caufe de la difference infiniment petite de leurs rayons, feront appliqués fur ceux de la Courbe, l'un en dedans, l'autre en dehors, deforte que le même Cercle ayant été interieur à l'égard de la Cour, be, & l'ayant touchée en un point, lui deviendra exterieur dans le point immediatement fuivant, & par confequent la coupera en la touchant encore. Avoir un arc infiniment petit, ou un feul point commun avec une Cour

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