1°. EF. EG::

ย

"

CE➡». CKTM”. D'où l'on voit que dans le cas du degré (m―n) des ordonnées plus grand que celui (m) des abfciffes, l'on aura EF <EG depuis C jusqu'en K, & EF > EG par-delà K vers B à l'infini: de forte que les hyperboles AFB & AGB fe couperont à l'extrémité D de l'ordon

née KD.

que

CK”—». D'où l'on voit au contraire que dans le cas du de-
gré (m—n) des ordonnées moindre que celui (m) des
abfciffes, l'on aura toûjours EH> EG depuis C jufqu'en
K, & EH <EG par-delà K vers B à l'infini: de forte
les hyperboles AHB & AGB fe couperont auffi en D..
III. On voit delà que l'efpace ACBBGGA entre l'hy-
perbole ordinaire AGB & fes afymptotes, étant infini de
part & d'autre, l'hyperbolique ACBBFF A sera auffi
infini du côté de B qu'il eft le plus ouvert ; & l'hyperbo-
lique ACBBHHA infini de même du côté de A qu'il
eft auffi le plus ouvert.

de

IV. Mais avant que de chercher la valeur jufte de ces espaces, il eft bon (pour moins d'embarras) de remarquer que les deux derniers reviennent au même genre d'hyperbole, fçavoir à celui dont les coordonnées montent à des puiffances différentes; puifqu'on peut prendre à difcrétion celles du plus haut ou du plus bas degré pour les ordonnées de cet Courbe. Par exemple ici, le lieu Voyez la (art. 1.) C Em × E Fm CK2m+" de l'hyperbole AFB, Figure de la repréfentant les ordonnées EF à un plus haut degré que fes abfciffes CE, représente de même fes ordonnées LF à un plus bas degré que les abfciffes CZ: De forte que peut également dire que les ordonnées de l'hyper

l'on

21

page fui

vante.

bole AFB font d'un plus haut ou d'un plus bas degré que fes abfciffes, felon qu'on les choifira pour telles; & ainsi de toute autre hyperbole dont les coordonnées montent à des puiffances différentes,

V. Cela érant, l'espace BEFB pris du côté de B, fera celui que M. Wallis appelle plus qu'infini. Pour en trouver présentement la valeur, foient CE=x, EF=v, & CK—a conftante. L'on aura (art. 1,) xTMym”—qım→bn ̧

ce qui donne l'élément vdxa"+" x+dx, & l'espa

ce ACEFA (sudx) =m= Ха

n

n

+

+

CKm+n × СЕ CEM": TM+”: c'est à dire, fini du côté de A par raport auquel CE eft finie; & feulement infini du côté de B, puifque cette même CE n'y fçauroit devenir tout au plus qu'infinie,

VI. Donc

VI. Donc fi en prenant ZF (x) pour l'ordonnée de

dv

l'hyperbole AFB, ou (art. 5.) x dv=a บ
pour l'élément de fon espace BCLFB entre asymptotes,

négatif, ce n'est pas une marque qu'il foit plus qu'infini, comme l'a dit * M. Wallis; mais feulement qu'au lieu de cet espace BCLFB il faut prendre fon complément ALFA infin. Schol.

pofitif: ce qui arrive tres-fouvent dans une in

finité d'autres quadratures. En effet les fignes + & n'étant que des marques d'operation, fçavoir d'addition & de fouftraction, à faire fur les grandeurs qu'ils affectent, ils n'en changent point du tout la valeur, bien loin de pouvoir les réduire à moins que rien, ainsi qu'il faudroit pour M. Wallis: mil écus que je dois, valent autant que mil écus que j'aurois; 6 à ajoûter valent autant que 6 à retrancher, &c. Et fi l'on dit que +6 ne font pas égaux à-6, cela ne fignifie autre chose finon qu'ajoûtant 6 on fait plus que fi on les retranchoit, les operations d'addition & de fouftraction, exprimées par les fignes✈ & étant auffi comprises dans cette comparaison. Donc

un espace fini, bien loin d'en fignifier un plus qu'infini: Toute la différence, c'eft que les efpaces exprimés par ces formules, font renverfés l'un par raport à l'autre, comme les expressions négatives le marquent par tout en Geometrie.

ma

VII. Pour prouver encore que la valeur négative

-num

trouvée (art. 6.) pour l'espace cherché BCLFB,

1706.

C

* Arith.

n'est point une expreffion plus qu'infinie de cet espace, mais feulement une valeur finie de fon complément ALFA à l'égard duquel elle devient pofitive, enforte

m

n

nvm

; il n'y a qu'à considérer que

fi de l'efpace fini ACEFA trouvé cy-devant (art. 5.) =

CEFL (xv), l'on aura ALFA=

n

n

m+n

n

(à cause que le lieu xvm+”—a1→” de l'art. 5.

&xm+n

2mn
m.n

Voyez la perboles entre afymptotes (telles que dans la Fig. 1. dont Figure de la les ordonnées EF, EG, EG, font ici chacune féparément =y, & leurs abfciffes communes CE=x) donnant

de leurs ordonnées (y); il est aifé de voir,

1°. Que lorfque pm, comme (art. 2. n. 1.) dans l'hyper

m+p

bole AFB, cet espace doit être ACEFA_pa ? x ?

p-m fini, & le tout ACBBFA infini lorfque x (CE) eft infinie. Ce qui prouve que la valeur de cet efpace prolongé à

l'infini de part & d'autre, doit être fini du côté de A, & infini du côté de B.

2o. Lorsque p<m, comme (art. 2. n. 2.) dans l'hyper

bole A HB, la formule générale pa

mp pm
Р x !

p-m

devenant

ici négative, au lieu d'exprimer l'efpace cherché ACEHA, elle fe change en celle de fon complément BEHB, &

de manière que lorfque x (CE) fera, tout l'efpace BCAAHB fera infini. Ce qui fait voir auffi que la valeur de cet efpace prolongé à l'infini de part & d'autre, doit être fini du côté de B, & infini du côté de A, comme dans l'hyperbole AFB cy-deffus; mais à rebours, ainsi qu'il doit arriver fuivant l'art. 4.

3o. Enfin lorsque pm, comme (art. 1.) dans l'hyper

bole AGB, l'expreffion générale pax

p-m

des espaces hyperboliques afymptotiques donne le cherché ACEGA auffi-bien que fon complément BEGB=". D'où l'on voit que l'efpace ACBBGA doit être infini de part & d'autre, & par conféquent plus infini (pour ainfi dire) que les précédens ACBBFA & ACBBHA qu'on vient de voir ne l'être que par chacun un côté. Donc il s'en faut bien qu'ils ne foient plus qu'infinis : Et c'est tout ce qu'on s'étoit propofé d'éxaminer ici.