Voici les difficultés dans les termes qu'il les propofe. Premiere difficulté. Lorfque la fuppofition de dyo, & « celle de dy∞, donnent chacune une valeur de x; « pourquoi doit-on préferer celle qui eft tirée de la fuppofition de dyo à celle qui eft tirée de la fuppofition de « dy=∞o? Ce qu'obferve toûjours l'Auteur. Dans le pre- « mier Exemple art. 48. où il cherche la plus grande appliquée de la Courbe dont la nature est exprimée par cette « Equation A.

A. x2+y=axy.

Ayant differentié l'Equation A, & tiré de la fuppofition de dy=o, x=avi; il dit que cette valeur de x réfout « dy=o,x={a√2; la question, & il ne fait aucune mention ni de la fuppofition de dy∞o, ni de la valeur de x qu'on en tire, qui « eft xa V4, quoique cette derniere valeur foit autant «< réelle que la premiere.

Seconde difficulté. Comment connoître celle des valeurs «‹ de x qu'il faut choifir, lorfque l'une ou l'autre fuppofition de dy =0,ou=∞, où toutes les deux en donnent plufieurs differentes ?

Troifiéme difficulté. De quelle maniere doit-on s'affurer, « fi l'appliquée qui répond à une valeur de x tirée ou de la « fuppofition de dyo, ou de celle de dyoo, eft un « Maximum ou un Minimum, lorfque la Courte n'eft point décrite & qu'on n'en connoît point la figure, ce que je fup- « pose toûjours?

Quatrieme difficulté. Lorfqu'une appliquée, qui répond à une valeur de x tirée de l'une ou de l'autre fuppofition de dyo ou∞, rencontre une Courbe en deux ou « plufieurs points; comment déterminer celui d'entre ces « points où la tangente eft parallele à l'axe? Car ce n'est « qu'en ce cas qu'une appliquée eft un Maximum ou un «‹ Minimum.

Cinquième difficulté. Lorsqu'une appliquée, qui répond à une valeur de x tirée de la fuppofition de dy0, ou « rencontre une Courbe en un point où la tangente « n'est parallele à aucun des axes conjugués; cette appli- a 1706.

D

Fie. I.

quée n'est alors ni un Maximum ni un Minimum, puisque » d'un côté il y en a de moindres, & de l'autre de plus gran"des. De quelle adreffe doit-on ufer pour le remarquer?

FIG. II.

Quoique ces difficultés ne foient point infurmontables à ceux qui entendent l'Algebre commune, & les principes des Infiniment petits, & qu'il y ait bien de l'apparence qu'elles ont paru fi legeres à M. le Marquis de l'Hôpital, qu'il ne s'eft pas voulu donner la peine de les lever; peutêtre neanmoins que le nombre de ceux qui n'en font pas capables merite qu'on leur en donne l'éclairciffement.

Je le mettrai ici à peu près de la maniere que je l'ai envoïé à nôtre Geometre, aprés avoir fait quelques obfervations fur les differens raports qui fe rencontrent entre les differences (dx & dy) des coordonnées des Courbes, fur les differens Maxima & Minima, & fur quelques autres circonstances qui ont raport aux questions de Maximis & Minimis.

1

OBSERVATION I

I. En fuppofant ce qui eft démontré dans l'Analyfe des Infiniment petits art. 47. qu'aux points des lignes courbes où les tangentes font paralleles aux axes conjugués des mêmes Courbes, le raport des differences de leurs coordonnées eft toûjours infini. On observera,

1°. Que dans toutes les Courbes comme AMB, qui rencontrent un de leurs axes AB en deux points A & B, où les tangentes AF, BG sont paralleles aux ordonnées PMAP,x; PM, y), le raport de dx à dy croît depuis l'Infiniment petit en A, ou x=•=y, jusqu'à devenir Infiniment grand en D, où la tangente DF eft parallele à AB, & où x (AE) & y (ED) font toutes deux réelles; & diminuë enfuite depuis l'Infiniment grand en D, jufqu'à devenir Infiniment petit en B, où x (AB) est réelle & finie, & y=0.

2o. Que dans les Courbes HMI qui ont deux afymptotes AH, AI, & dont les coordonnées font AP,x; PM, y; le raport de dx à dy croît depuis l'Infiniment petit du

côté de H, où AP devient nulle ouo, & PM devient AH infinie, jufqu'à devenir Infiniment grand du côté de I, où AP devient Alinfinie, & PM 0.

3°. Que dans les Courbes AMI qui touchent un de FIG. HI. leurs axes en A, qui ont une afymptote BI parallele à l'autre, & dont les coordonnées font AP, x; PM, y; le raport de dx à dy diminuë depuis l'Infiniment grand en A, où x=0&y=0, jusqu'à l'Infiniment petit du côté de I, où AP (x) devient AB finie, & PM (y) devient Blinfinie, étant asymptote à la Courbe, c'est à dire, une tangente infinie.

V.

4°. Qu'entre les Courbes AMI qui s'étendent à l'infini FIO. IV. vers I, en s'éloignant toûjours de leur axe APB, il y en a où les tangentes infinies font paralleles à leur axe APB FIG. IV. (telles font toutes les paraboles), & où par confequent le raport de dx à dy croît depuis l'Infiniment petit en A, où AP & PM deviennent nulles ouo, jufqu'à l'Infiniment grand du côté de 1, où AP & PM deviennent toutes deux infinies.

Il y en a d'autres où les tangentes infinies CDI rencon- FIG. V. trent leur axe AP en un point C, qui n'est éloigné de leur fommet A que d'une distance finie AC (telles font les hyperboles) & où par confequent le raport de dx à dy croît depuis l'Infiniment petit en A, où AP & PM deviennent nulles, jufqu'à devenir égal (ayant mené AD parallele à PM qui rencontre la tangente infinie CDI en D) au raport de CA à AD, au point touchant, où AP & PM deviennent infinies.

OBSERVATION II.

II. En nommant toûjours les coordonnées des Courbes x &y, & partant leurs differences dx & dy, l'on ob. fervera que, quoique les raports qui fe rencontrent entre dx & dy, dans tous les differens points des Courbes, puiffent varier à l'infini, l'on n'en peut neanmoins diftinguer que de trois genres differens dans toutes les fuppofitions

poffibles; de finis, d'infinis, & d'indéterminés: car foit en general dx. dy:: m. n, ou

dx m

dy

1o. Si l'on suppose que m & n foient des grandeurs finies, le raport de dx à dy fera un raport fini.

2o. Si l'on fuppofe mo, & que par la fuppofition n ne devienne point auffio, ce qui arrive quelquefois, l'on

dx

aura =, c'est à dire, que le raport de dx à dy sera Infiniment petit.

3°. Si l'on fuppofe no, & que par la supposition m ne l'on aura m, c'est à dire, devienne point aussi =0

que

dx

dy

dx

le raport de dx à dy fera Infiniment grand. 4°. Si l'on fuppofe mo, & que par la fuppofition n devienne auffi—o, ou au contraire, l'on aura, c'est à dire, que le raport de dx à dy fera indéterminé : car peut être égal à une quantité quelconque p, puisque p multipliée par le dénominateur zero produit le numera

teur zero.

Perfonne n'ignore qu'il ne fe rencontre entre les differences (dx & dy) des coordonnées des Courbes, des raports finis & infinis dans differens points des mêmes Courbes: mais on ne fçait peut être pas fi generalement qu'il s'y rencontre quelquefois certains points où le raport de dx à dy eft indéterminé, c'eft-pourquoi j'ai juge à propos de le démontrer ici.

THEOREM E.

III. Le raport des differences (dx & dy) des coordonnées des Courbes eft indéterminé dans tous les points d'interfection (qui feront dans la fuite appellés Noeuds) de deux rameaux, où les tangentes ne font point paralleles aux coordonnées, ou, ce qui eft la même chofe, aux axes conjugués, foit que l'on fuppofe dx ou dy:

Soit la Courbe KADBL qui a un noeud en D, dont les axes conjugués font AB, AC, & les coordonnées AP ou AQ, x; PM ou QN,y.

Il faut démontrer que, fi les tangentes au point D ne font point paralleles aux axes conjugués AB, AC, les differences dx & dy deviendront toutes deux égales à zero au point D, par la fuppofition de l'une des deux 0.

DEMONSTRATION.

Par un point quelconque M pris fur le rameau AD, foient menées les droites FMN parallele à AB, qui rencontrera le rameau BD en N; MP, NQ & DE paralleles à AC. Si l'on fuppofe prefentement que le point M s'approche de plus en plus à l'infini du point D, MN= PQ deviendra enfin dx, &OD, dy; de forte que, lorfque par la fuppofition de MN, ou ODo, le point M tombera en D, les points O & N tomberont auffi en D, & par confequent MN & OD (dx & dy) feront nulles ou=0; parceque le point d'interfection D eft un point Mathematique, l'angle MDN étant d'une grandeur finie. Ce qui n'arriveroit pas de même fi les rameaux AD, BD le touchoient en D: car MN devenant nulle, OD demeureroit égale au petit côté de l'attouchement, & par confequent infinie par raport à MN. Il eft donc constant que dans les nœuds le raport de dx à dy est indéterminé où=-, par la fuppofition de dx ou de dy―o. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIR E.

IV. Il est clair que ED n'est ni un Maximum ni un Minimum, puifque PS > ED, & PM <ED ; & que G D n'est auffi ni un Maximum ni un Minimum, puifque FN > GD, & FM <GD.

A

PROBLEME.

V. L'Equation qui exprime la nature d'une Courbe dont les coordonnées font x & y, & l'une de ces trois chofes, x, ôu y étant exprimée en termes connus, par fuppofition ou autrement, exprimer les deux autres auffi en termes connus, ou montrer que la fuppofition eft impossible.