de rotation en Z du corps décrivant, tend à l'emporter d'un mouvement uniforme, il lui faut fuppofer encore une autre force fuivant LC, capable de lui faire parcourir auffi d'un mouvement uniforme le côté ZG du parallelogramme YG, ou fon oppofé 1, pendant le même inftant que fa viteffe de rotation emploïeroit à lui faire parcourir LY, ou qu'il emploïe effectivement à parcourir Zl. Or fi l'on confidére que la viteffe précédente (Solut. 1.2.) de ce corps L, accélérée de Pen / à la manière de celle des chutes des corps péfans, devroit lui donner en / une vi*teffe qui uniforme feroit capable de lui faire parcourir y double de Pl, dans un inftant égal à celui qu'il auroit mis à tomber (pour ainsi dire) de Pen / en vertu de fa seule force centrale regardée comme une efpece de péfanteur tendante en C, ou qu'il a effectivement mis à parcourir Ll; on verra que du concours de cette viteffe uniforme en L fuivant LG, avec celle de rotation fuivant Ly, ce corps non-feulement parcourroit la diagonale zl du parallelogramme YG pendant ce même instant; mais auffi qu'il arriveroit en lavec la même viteffe que s'il y arrivoit (comme cy-deffus Solut. 1. & 2.) par le concours de fa viteffe de rotation fuivant ZQ, avec la précédente vitesse accélérée de P enl. Donc ce corps Z décrira l'élément Il dans des inftans égaux, & avec une même viteffe en 1, foit qu'il le décrire par le concours de cette viteffe accélérée de Pen / avec la viteffe uniforme de rotation fuivant LQ, ou qu'il le décrive par le concours de cette viteffe uniforme fuivant LT avec une autre pareillement uniforme suivant ZG ou Yl, égale à l'aquise en / par cette accélération. Donc auffi les deux côtés LY, LG, du parallelogramme YG, font entr'eux comme ces deux viteffes uniformes, ou (ce qui revient au même) comme les forces productrices de ces viteffes: c'est à dire que LY eft à ZG, comme la force acquife en Z par la chute de H en Z du corps Z en vertu de sa seule péfanteur, eft à sa fa force acquife en / par une semblable chute de P en len vertu de fa feule force centralę. XVIII. Or il est manifeste que la péfanteur d'un corps agissant également fur lui dans tous les inftans de fa chute, & tous ces efforts égaux chacun à fa péfanteur, fe confervant & s'accumulant (pour ainfi dire) dans toute la durée de fa chute, leur nombre à chaque instant doit être comme le nombre des inftans écoulés depuis le commencement de cette même chute jufqu'à cet inftant; & par conféquent leur fomme, c'eft à dire, la force aquife de ce corps à chaque instant doit être égale au produit de fa péfanteur par le nombre de ces inftans, ou par durée de fa chute jufqu'à ce même instant. la On fçait auffi que la force totale de ce corps en Z, aquife par fa chute de H en Z en vertu de sa seule péfanteur, feroit feule capable de lui faire parcourir LT double de HL d'une viteffe uniforme égale à ce qu'il en auroit aquis en Z en vertu de fa chute, & dans un tems égal à celui de cette chute de Hen L. Donc la force totale de ce corps à la fin de fa chute en Z en vertu de fa feule péfanteur, eft égale au produit de fa péfanteur par le tems qu'il emploïeroit à parcourir ZT double de HL d'une vitesse uniforme égale à ce qu'il en auroit ainsi aquis en Z, c'est à dire (hyp.) égale à fa viteffe de rotation en L. On prouvera de même que la force de ce corps aquife en / par fon efpece de chute de Pen / en vertu de fa feule force centrale, doit auffi être égale au produit de cette force centrale par le tems qu'elle emploïeroit à le faire ainsi tomber de P en l, ou (hyp.) que fa viteffe uniforme de rotation emploïeroit à lui faire parcourir ZP ou LY. Donc en prenant les longueurs LT, LY, pour les tems que le corps Z emploïeroit à les parcourir de cette vitesse uniforme de rotation; p, pour la péfanteur de ce corps; &f, pour fa force centrale en Z fuivant ZC,l'on aura p× LT pour La force totale de ce corps aquife en Z par fa chute de H en Z en vertu de fa feule péfanteur; & fx LY pour fa force totale pareillement aquife en / par une semblable chute de Pen / en vertu de fa feule force centrale. Donc auffi 1706, Bb Continuation de la même dé monstration. Conclufion Regle générale du raport des entr'elles. (art.17.) LY. LG :: p× LT. f× LY. ou f— P x LT x LG (à caufe qu'on fuppofe ici LT=2HL, & LG=Yl)= LIXLY Iz RL Ll LYX LT XIX. Cela étant, fi l'on prend (comme l'on vient de faire art. 17.) la Courbe MLN pour un polygone infinitilatere, dont RL, Rl, foient deux rayons de fa Dévelopée, & que lz foit un arc de cercle décrit du centre Z; la reffemblance des triangles LRI, IZZ, donnera RL. LI:: Ll. lz=x. Et fi l'on prolonge Cl jufqu'à la rencontre en X de la tangente LT, la reffemblance des triangles XDL, Xzl, donnera auffi DL. LX ou Ll:: zl (x). Xl="up. Mais les triangles XY, XLC, que r (hyp.) parallele à ZC, rend femblables, donnant XI. Yl:: XC. LC. Et l'angle XCZ (hyp.) infiniment petit, rendant de plus XC= tc; l'on aura pareillement Xll. Donc auffi yl Par conséquent en RL RLX DL Ll Llx Ll x Ll fubftituant cette valeur de yl dans la formule ƒ= 2p×HL×YL Lix Ll qu'on vient de trouver à la fin de l'art. 18. l'on aura de même f=2px HLX L. Donc en appellant encore HL,h'; RL x DL rdx RL ̧r; Ll, ds; & DZ, dx; l'on aura encore ici f=2phs pour Regle générale de comparaifon des forces centrales avec les péfanteurs des corps, comme dans les art. 9. & 14. Ce qu'il falloit encore trouver. SCHOLI E. XX. Puifque (art. 18.) fx LY eft la force totale du forces centrales corps L, aquife en / par fa chute (pour ainfi dire) de P en i en vertu de fa feule force centrale f, & que Ly exprime l'inftant que cette force centrale emploïeroit à lui faire parcourir l d'un mouvement uniforme, ou que ce même corps emploïe à parcourir effectivement Ll; fi l'on prend de pour cet inftant, l'on aura fdt pour la force qui pourroit lui faire parcourir ainfi rl d'un mouvement uniforme pendant ce même inftant; & par tout de même. Or on fçait qu'en ce cas le produit fat d'une telle force fdt par fon inftant dt, eft toûjours proportionel à cette yl correspondante. Donc ici fi eft une fraction constante égale, par exemple, à telle grandeur constante m qu'on voudra, c'est à dire fam; & par conféquent auffi marl f=mxx. Mais on vient de trouver (art. 19.) Yl— lxLix Ll dr2 ¥l= RLXDL Donc enfin f mx Ltx rtx Ll : de forte qu'en appellant en mds3 RLX DLX dt2 core RL, r; DL, dx; & Ll, ds; l'on aura de même dxd pour la Regle générale du raport des forces centrales entr'elles, ainfi qu'on l'a déja trouvée fur la fin de l'art. 15. Ce qui fait voir ici, comme là, que les forces centrales d'un même corps quelconque fuivant des ordonnées concourantes en quelque point que ce foit du plan d'une Courbe auffi quelconque qu'il décriroit avec telle variation de viteffes que ce fut, doivent toûjours être entr'elles comme les fractions rdxd Correfpondantes. ds3 XXI. Il eft encore à remarquer que cette même Regle du raport des forces centrales entr'elles, fe peut encore tirer de celle du raport de ces forces aux péfanteurs des corps qui en font affectés, trouvée cy-deffus art. 9. 14. & 19. Car 20 étant constant dans cette Regle f=2phs hds > rdx elle fait déja voir que fur une même Courbe quelconque décrite par un même corps auffi quelconque avec telle variété ou variation de viteffes que ce foit, les forces centrales (f) doivent toûjours être entr'elles comme les fraAtions correspondantes Mais les hauteurs h d'où ce corps devroit tomber pour aquerir à la fin de ses chutes les mêmes viteffes qu'il a à chaque point de la Courbe qu'il décrit, étant (fuivant Galilée) comme les quarrés vv de ces viteffes que j'appelle v; fi l'on fubftituë vv au rdx Premier cas où Les forces centre infinies pay raport aux pé fanteurs. FIG. I. V. lieu de ʼn dans la fraction précédente, il en résultera vvds celle-ci qui fuivra auffi toûjours la raison de celle-là. rdx Donc les forces centrales (f) feront de même ici toûjours vvds rdx entr'elles comme les fractions correfpondantes. Mais on fçait d'ailleurs que les viteffes (v) avec chacune defquelles chaque élément Z1 (ds) eft parcouru pendant chaque inftant (dt), sont auffi toûjours entr'elles comme les fractions correspondantes. Donc en substituant cette fraction dans la prefente à la place de v, on trouvera encore ici les forces centrales (ƒ) en raison des fractions ds dt ds3 ou donnent les Regles f=dxdi 2rdxdı2 mds3 trouvées dans les Mem. de 1701. pag. 21. 22. & ci-deffus COROLLAIRES. 2phds trouvée dans les art. 9, 14, De la Regle f2phds rdx & 19. Fig. 1, & 5. XXII. Corol. 1. Il fuit en général de cette Regle, 1°. Que lorfque les forces centrales agiffent fuivant des rayons ou des directions qui touchent les Courbes qu'elles font décrire aux corps où elles fe trouvent; alors ds fe trouvant infinie par raport à dx qui pour lors devient nulle par raport à cet élément ds de la Courbe en question, la valeur phds de la force centrale (f) du corps qu'on fup rdx |