pofe décrire cette Courbe, devient auffi infinie par raport à la péfanteur, foit que le rayon (7) de la Dévelopée de cette même Courbe foit fini ou zero, tout le refte zph étant (hyp.) fini dans cette fraction. rd.x les forces cen trales doivent encore étre in. finies par ra port aux péfan teurs. Cas où les for 2°. Que non-feulement en ces points d'attouchement, Second cas où mais encore par tout où le rayon (r) de la Dévelopée de la Courbe en question fera zero, les forces centrales (ƒ) du corps qui la décrira, feront encore infinies par raport 2phds aux péfanteurs; puifque leur valeur générale le fera toûjours auffi pour lors, à caufe que la grandeur 2ph y fera toûjours finie, & que ds ne peut jamais être moindre que dx. 3o. Au contraire fi le rayon (r) de la dévelopée de la Courbe en question fe trouvoit infini, la force centrale ces centrales (f) qui répondroit au point de cette Courbe où ce rayon que finies ofculateur aboutiroit, feroit alors feulement finie ou zero, felon que le rayon ou la direction de cette force toucheroit cette Courbe en ce point, ou non : Dans le premier cas cette force feroit finie ou de même genre que la péfanteur, parcequ'alors ds feroit infinie par raport à dx comme le feroit par raport à h; & dans le fecond cette force feroit nulle ou zero par raport à la péfanteur, parce. qu'alors la fraction le feroit ahds par raport à r. Le premier de ces deux cas eft auffi celui du mouvement d'un corps fuivant une ligne droite qui pafferoit par le centre de fes forces, par exemple, fuivant une verticale qui paffe par le centre de fa péfanteur, toute ligne droite pouvant être regardée comme une Courbe dont les rayons ofculateurs font par tout infinis; puifqu'une Courbe dont tous les rayons ofculateurs deviendroient ainfi infinis, dégénereroit en ligne droite. peuvent être nulles. font toûjours 4°. Au contraire en tout autre cas que les précédens cas où les foxe (n. 1,1, &3.) les forces centrales (ƒ) feront toûjours fi- ces centrales nies tant que les péfanteurs (p) des corps où elles fe trou- finies. vent, & leurs viteffes ou les hauteurs (h).qui les déterminent aux différens points des Courbes que ces corps décrivent, feront finies, ainfi qu'on les fuppofe par tout dans Raport des forces centrales des corps, lorf lateurs des corps décrivent. cet écrit. Je dis tant que les péfanteurs (p) & les hauteurs (b) feront finies: parceque quand il n'y auroit qu'une de ces deux grandeurs p ou qui fût infinie dans la Regle f=phs, il eft manifeste que le rayon (7) de la Dévelo 2pbds rdx pée de la Courbe en queftion, y devroit être infini pour que la force (f) y demeurât finie. Et fi les deux grandeurs p&h font toutes deux infinies dans cette Regle, il n'est pas moins clair que la force centrale (ƒ) du corps décri vant où cela fe trouveroit, feroit infinie dans tous les points de la Courbe qu'il décriroit, même en ceux où le rayon (7) de la Dévelopée feroit infini, da ne pouvant jamais être infinie par raport à ds. XXIII. Corol. 2. Il fuit de la même Regle ƒ= L 2phds rdx que aux péfanteurs lorfque le centre C des forces eft en R, c'eft à dire, lorf que les diré que les forces centrales du corps Z qu'on fuppofe décrire ces font fuivant la Courbe MLN, tendent fuivant les rayons RL corref les rayons ofcu- pondans de la Dévelopée de cette Courbe, ou que leur Courbes que ces centre C eft fur cette Dévelopée, alors LD le confondant avec Zl, & rendant par là dx=ds, l'on aura f=2h, ou f.p:: 2h.r:: h. r. C'est à dire en général, qu'alors en chaque point I de quelque Courbe MLN que ce foit, la péfanteur du corps Z'qu'on fuppofe la décrire en tendant toûjours fuivant le rayon LR correfpondant de la Dévelopée de cette Courbe, sera à fa force centrale ou de tendance fuivant ZR, comme la moitié de ce rayon de Dévelopée,à la hauteur d'où ce corps tombant auroit aquis à la fin de fa chute en vertu de fa feule péfanteur, une viteffe égale à celle (quelle qu'elle foit) qu'il a effectivement en chaque point Д fuivant l'élément correspondant Ll de cette même Courbe MLN. Cas où les forccs centrales di rigées fuivant Les rayons of lateurs des Courbes en question, font gales en elles. XXIV. Corol. 3. Donc lorfque de telles hauteurs (h) feront comme les correfpondans des rayons (r) de la Dévelopée de cette Courbe MLN, c'eft à dire, lorfque les viteffes le long de cette Courbe MLN feront comme les racines de ces rayons correfpondans, les forces centrales ces centrales même Courbe, feulement éga péfanteur de ce tendantes fuivant ces mêmes rayons, feront égales entr'elles: puifque le raport de h à fr, fe trouvant alors conftant, celui de fàp conftante le feroit de même. XXV. Corol. 4. D'où il fuit de plus que toutes ces for- cas où les forL des ces du corps Z feroient non feulement égales entr'elles, me mais auffi égales chacune à la péfanteur de ce corps, fi ce corps fir une conftant des hauteurs (b) aux moitiés des rayons feroient nonraport (r) correfpondans de la Dévelopée de la Courbe MLN les entrelles, qu'on le fuppofe décrire avec les viteffes que ces hauteurs mais auffi à la déterminent, étoit un raport d'égalité: c'est à dire,fi corps. chacune de ces hauteurs (h) étoit égale à la moitié de chaque rayon (7) correfpondant de la Dévelopée de cette Courbe MLN; ou (ce qui revient au même) fi les viteffes de ce corps à chaque point Z fuivant cette Courbe, étoient chacune la même que celle qu'il aquieroit en vertu de fa feule péfanteur en tombant de la hauteur de la moitié du rayon ofculateur correfpondant. Et réciproquement, &c. XXVI. Corol. 5. Il fuit de tout cela que la Dévelopée du cercle fe réüniffant toute au centre de ce même cercle, non-feulement la force centrale du corps qui le décrira de quelque viteffe que ce foit, en tendant toûjours fuivant des lignes qui paffent toutes par ce point, c'est dire, fuivant les rayons de ce cercle, fera toûjours à la péfanteur de ce même corps, comme la hauteur déterminatrice de la viteffe en chaque point de la circonférence de ce cercle, fera à la moitié du rayon de ce même cercle; mais auffi que lorfque cette hauteur fe trouvera égale à la moitié de ce rayon, la force centrale du corps qui décrira ainfi ce cercle, devra être de même égale à fa péfanteur, ainfi que M. Hugens l'a trouvé, & plufieurs au tres aprés lui. à Il fuit réciproquement que lorfque ces deux forces fseront égales entr'elles, cette hauteur déterminatrice de la viteffe du corps décrivant, fera auffi égale à la moitié du rayon du cercle qu'on le fuppofe décrire. XXVII, Corol. 6. Puifque (art. 24.) les forces centrales fuivant les rayons d'un cercle, qu'auroit un corps qui à les forces cen Sur un cercle trales dirigées fuivant les la pesanteur décriroit, comhauteurs déter minatrices des pondantes de cercle, feroit ass méme cercles de par confe confécerte pefanteur, hauteur te fe rayons, feroient du corps qui te me chacunc des viteffes corres ce corps fur ce demi - rayon de quent égales à quand cette roit à ce demi rayon. Ces forces cenvigées for un trales ainfi di auffi toûjours comme les décrivant. cercle, doivent le décriroit avec quelque variété de viteffes que ce fût, tre entrelles feroient toûjours chacune à la péfanteur de ce corps, quarrés des vi- comme la correfpondante des hauteurs déterminatrices effes du corps de fes viteffes aux différens points de ce cercle, feroit au demi-rayon de ce même cercle, il fuit encore delà que ces forces centrales du corps décrivant doivent toûjours être entr'elles comme les correfpondantes des hauteurs déterminatrices de fes viteffes fur le cercle qu'il décrit; & par conféquent auffi comme les quarrés de ces mêmes viteffes, puifque ces quarrés fuivent toûjours la raifon de ces hauteurs dans l'hypothêse de péfanteur conftante dont il s'agit ici. Maniére de rendre la Regle des forces cen Santeurs des dans les art. 9, cilement applià toutes fortes de Cour rdx &19. XXVIII. Corol. 7. Pour rendre présentement la Rede comparaison gle générale ƒ= 2phids des art. 9, 14, & 19. facilement aptrales aux pé- plicable à toutes fortes de Courbes, foit geométriques, corps trouvée foit mécaniques, enforte qu'il fuffife d'y introduire l'équa14,19. fa- tion de chacune de ces Courbes pour avoir tout d'un coup clear le raport des forces centrales à la péfanteur abfoluë du bes. corps qui la décrit; il y faut fubftituer les fix valeurs infiniment générales du rayon (r) de la dévelopée de la Courbe MLN en question, lesquelles fe trouvent dans les Mem. de 1701. art. 10. & 14. pag. 27. & 29. où ce rayon s'appelle n. Pour cela outre Llds, & LD=dx, il faut auffi fuppofer LC=y, avec l'arc circulaire MG=z décrit du centre C, & d'un rayon quelconque MC as ce qui donnant CG (a), CL (y) :: Gg (dz). LD (dx)=9dz FIG. I. MC—a enf= rdx rydz changera déja cette équation f=ds en faphs. Alors ces fix valeurs de r fubftituées dans ces deux équations, fçavoir les trois premiéres dans la premiere, & les trois autres dans la feconde, les changeront en autant de Formules ou Regles toutes auffi générales pour comparer les forces centrales avec les pélanteurs abfoluës des corps mûs en lignes courbes quelconques, & avec telle variété de viteffes qu'on voudra: Les voici ces fix Regles. FORMULES FORMULES OU REGLES Infiniment générales des raports des Forces centrales avec les Pefanteurs abfolues des corps mus de vitesses variées à difcrétion le long de telles Courbes qu'on voudra. z yydsdz 2 6°. f = d x d s2 + dx dy2± y d y d d z — y d z ddy x 2 ph. ydz ds2 celles des rayons of XXIX. Corol. 8. Ces fix Formules ou Regles des forces centrales comparées aux pefanteurs des corps mûs en lignes courbes, fe diverfifiront à l'infini felon ce qu'on leur fuppofera de conftant, ainfi que celles des culateurs des art. 10. & 14. pag. 27. & 29. des Mem. de 1701. qu'on y vient d'introduire, fe diverfifient dans les art. 11. & 15. pag. 27. 28. 29. & 30. de ces mêmes Mem. Par exemple, 1°. Si l'on fuppofe dx conftante, c'est à dire ddxo, la premiére de ces Formules du précédent art. 28. donnera f=dyds=ydds × 2ph; & la troifiéme, ƒ: ds2-yddy × 2ph. ydyds Jds2 . Si l'on fait dy conftante, c'est à dire ddyo, la feconde de ces mêmes Formules générales du précédent article 28. donnera f=dsdx2+ydydds × 2 ph; la troifiéme, f= dxds? ±ydyddx x2ph; la cinquième,f=ydsdz2+aadydds ydxds ydsdx2 & la fixiéme, ƒ= dzds2+dzdy2+ydyddz x 2ph. ydzds yydsdz2 ·×2ph; la pre 3o. Si l'on fait ds conftante, c'est à dire dds=o, miére des mêmes Formules générales de l'art. 28. don1706, Cc |