centrale en 7 continuëra d'être centrifuge, ou qu'elle y deviendra centripete. On voit auffi que ces Courbes TV, TX, TY, TZ, fe diverfifiront felon les différens raports des Forces centrales du corps qui les décrira. Ce que l'on voit ici du demi-cercle NTM, fe démontrera de même de toute autre Courbe en pareilles circonftances. Et c'eft tout ce qui reftoit ici à faire voir.

SOLUTION

Du Problême proposé par M. Jacques Bernoulli dans Les Actes de Leipfik du mois de May de l'année 1697. trouvée en deux maniéres par M. Jean Bernoulli fon Frere, & communiquée à M. Leibnitz au mois de fuin 1698.

D

SUR LES ISOPERIMETRES.

PROBLEME I.

E toutes les Courbes ifopérimetres décrites fur un mème FIGURE 1. axe déterminé BN, trouver la Courbe BFN telle qne Jes appliquées FP élevées à une puissance donnée, ou généralement telle que les fonctions quelconques de ces appliquées, exprimées par d'autres appliquées PZ, forment ou remplissent un efpace BZN qui foit le plus grand de tous ceux qui peuvent étre formés de la même manière : ou bien (ce qui revient au même) une Courbe BH, qui ait pour axe BG perpendiculaire à BN, étant donnée, déterminer la Courbe BFN dont les appliquées FP prolongées jufqu'en Z enforte que PZ foit égale à GH, fallent un espace BZN qui foit le plus grand de tous ceux qui peuvent être formés de la même maniere & compris par d'autres Courbes quelconques décrites fur BN & de même longueur que BFN.

SOLUTION.

Que BFO foit une partie de la Courbe cherchée, & que Fig. II. BZC foit partie de l'autre Courbe engendrée par celle-ci

fuivant les appliquées de la Courbe donnée BH. Je regarde FOQ élément de la Courbe BFQ, comme compofé de deux petites lignes droites FO, Oo; & de même l'élément Zi de la Courbe BZ, comme compofé de deux petites lignes droites ZZ & C. Maintenant parceque toute Courbe qui doit donner un maximum, conferve auffi dans toutes fes parties les loix de ce même maximum, il fuit que fi des points F & O on mene deux autres petites lignes droites Fw, wo, lesquelles prises ensemble foient égales à FO―+00, & que de ces lignes on en forme par la même loi za, as, de même que de FO, Oo, on a formé ZZ, LC; il fuit, dis-je, que l'efpace ZPrCaz doit être plus grand que tout autre ZPλŻ. Afin donc de trouver la pofition requife des petites lignes FO, Oo, qui doivent donner ce maximum, & delà de trouver la nature de la Courbe BFQ; je conçois que des foyers F, 4, & de la longueur du fil FOO, on ait décrit une petite Ellipfe, sur la circonférence de laquelle les deux points 0, ∞, foient infiniment proches l'un de l'autre, c'est à dire, dont la distance O foit infiniment plus petite que la distance des foyers F, 4, quoique la droite Fo foit déja infiniment petite par elle-même, étant la foûtendante de l'élément FOw de la Courbe BFQ. Donc par la nature du maxim, les deux elpaces ZPTC LZ & ZPZ feront égaux entr'eux; & en ayant ôté ce qu'ils ont de commun, il restera le triangle ZLY égal au triangle Car; ou bien menant les paralleles LO, λ (en négligeant les parties infiniment plus petites LYM & Yλ) le triangle ZZM fera égal au triangle Caμ, c'est à dire qu'ayant mené ZC & CD paralleles à l'axe B, comme auffi FI & OK, l'on aura ZC × LM=ÇD×λμ. Mais parceque LM eft la différence des lignes LR, MR, de même que a l'eft des lignes λe, up; & que LR, MR, &λp, up, font les fonctions des lignes refpectives RO, RT, & pw, p9; il est clair que LM représentera la différence des fonctions qui font entre RO, RT; & que λu repréfentera de même la différence des fonctions qui font entre po, po. Il faut bien remarquer que la différence des

fonctions de deux lignes comme RO, RT, qui fe furpaffent d'une quantité TO infiniment petite du fecond gen. re, fe trouve en différentiant fimplement la fonction de RO, & en multipliant par 70 ce qui en vient, ayant omis les différentielles: Par exemple, fi RL fonction de RO, étoit feulement la puiffance n de la même RO, en quoi confifte le cas de mon Frere, c'eft à dire que fi la Cour be BH étoit une Parabole du dégré n, alors LM ou

n

RO"-RT" feroit-nRO TO, De même fi la Courbe BH étoit un cercle dont le rayon fûta, alors LM ou

V1a×RO-RO-V2axRT-KT feroit-4-RO EXTO;

√2axRO-RU

& ainfi des autres. Il faut auffi remarquer qu'en général on exprimera les différences des fonctions de RO, RT, par ARO×TO, en prenant A pour le figne ou la caracté riftique des différences des fonctions où l'on omet les différences des grandeurs dont elles font fonctions. Donc ayant déja ZCx LM = CD xλ, l'on aura auffi FI× ARO×TO= q K x A p w x 8 w.

Maintenant des centres F & foient décrits les petits arcs OX, w, lefquels par la nature de l'Ellipfe font égaux entr'eux. Donc TO eft à 0w, comme la fecante de l'angle XOT ou IFO est à la secante de l'angle ou Kow. Mais on a auffi FI. OK:: FO×fin. FOI. qwxfin. wK. Donc fià la place de FI, OK, & de TO, w, on fubftitue les grandeurs qu'on leur voit ici proportionelles, on aura FO× fin. FOIX AROxfec. IFO=@wx fin.QwK× Apw × fec. Kow. Or par les loix des finus, tangentes, & fecantes, le réctangle fait du finus de l'angle FOI par la fecante de l'angle IFO, eft égal au quarré du finus total, lequel par les mêmes loix eft égal au réctangle fait du finus de K par la fecante de Kow. Donc FOXARO=Q w× Apw; ou fi pour RO l'on prend fon équivalente PF qui lui eft jointe par la petite ligne droite FO, & que pour pa on prenne de même fon équivalente ro, l'on aura FOX APFQwxA; & par con féquent APF. ATQ :: Qw (40). FO:: fin. OFQ. fin. OOF. Et, permutando, APF. fin. OFQ : : Aπo. fin OF. Et par

FIG. III.

ceque Fo eft la foûtendante d'un arc infiniment petit FO de la Courbe BFOQ; & qu'ainfi on peut regarder chacun des angles OFO & OOF comme la moitié de l'angle de la courbure en F & en ; il fuit que APF eft au finus de la courbure en F, comme AzQ est au finus de la courbure en', c'est à dire en raison constante. Ainfi ce Problême étant ainfi réduit à la pure Analyse, on peut l'énoncer en cette forte.

Trouver la Courbe BFQ dont la nature foit telle que le finus de fa courbure dans un de fes points quelconques F, foit à la fonction differentiée de fon appliquée refpective PF (ayant négligé la différence de cette appliquée) en raison conftante.

diddy

dx

Voici la maniére dont on peut réfoudre ce Problême. Soit BF la Courbe cherchée, dont l'élément ( que l'on prend pour conftant) foit Fl=dt, BP=y, PF=x, Pp-dy, Cl-dx; foit regardée Fm comme la tangente en F=Fl, & par conféquent /Fm comme l'angle de la courbure, dont le finus eft lm. Soit enfin le triangle rectangle mnl, dont les côtés mn, nl, foient paralleles aux côtés /C, CF, du triangle FCl; l'on aura mn=ddx, & nl — ddy. De plus à caufe de ces triangles semblables CFI, nml, on aura auffi Cl (dx). Fl (dt):: nl (ddy). ml= Mais par la nature de la Courbe, ml est à APF en raison constante. Donc en faifant drddy. Ax:: dt. a. l'on aura cette équation addy▲xxdx. Mais comme Axdx eft la fonction ellemême différentiée, fil'on intégre, l'on aura la fonction elle-même ou GH. Soit donc cette ligne GHX, ayant auffi pris l'intégrale de l'égalité qu'on vient de trouver, on aura ady; ou bien ayant multiplié les parties homogenes par la conftante dr, on aura ady Xxdtcdt (il faut bien remarquer que j'entends par une quantité conftante & arbitraire, dont il eft permis d'augmenter ou de diminuer l'intégrale d'une différentielle quelconque); & en quarrant de part & d'autre l'on aura auffi a a dy'= = dt' x X±c=dx'+dy' x X±c, d'où l'on tire enfin

dx

dy=

Vaa

, qui fera l'équation générale de la

Courbe cherchée, laquelle deviendra fort simple (il suffit d'en trouver une qui fatisfaffe) en fuppofant ce dans

cette équation: car il en résultera dy

Xdx

Vaa XX

dont

l'intégrale fera y=√√..=XX
Xdx fuivant laquelle fi l'on
'conftruit une Courbe, je dis qu'elle fera celle qu'on de-
mande.

Corol. Ayant fuppofé co, & conféquemment ady= =dt, l'on aura dy. X:: dt. a. Mais en fuppofant dt conftante, dy est le finus de l'angle BFP. Donc le finus de l'angle BFP. X (GH):: dt. a. c'eft à dire, en raifon conftante. Mais fi BF eft la Courbe Brachyftochrone, & BH la Courbe dont les ordonnées GH expriment les vitesses aux points F, j'ay fait voir dans le tems, que le finus de l'angle BFP eft à GH en raifon conftante. D'où l'on voit que la Courbe BF a en même tems ces deux proprietés; puifqu'elle eft telle que xdx est un maximum, & en même tems un minimum. Mais cette Cour

*

be n'a pas cette proprieté lorfque c n'eft paso.

PROBLEME II.

* Voyez les

Actes de Leippag.208. &c.

fik de 1697.

Les mêmes chofes étant pofees, fi l'on fuppofe maintenant que PZ foit comme la fonction donnée de l'arc BF, on demande F10. ↳

la nature de la Courbe BFN.

SOLUTION.

Si l'on fuit la même methode que ci-deffus, on réfoudra facilement ce Problême, Car le triangle ZZY fera toujours égal au triangle Cλ par la nature du maximum, ou ZCxLM=CD×λu. Mais LM (LR-MR) eft la différence des fonctions des deux arcs BFO, BFT;&λμ (λpμp) la différence des fonctions des deux arcs BFw, BEO, & l'on trouvera la différence de ces fonctions de la même maniére que ci-deffus, en multipliant fimplement la fonction différentiée (ayant négligé la differentielle de l'arc dont

FIG. II.