La premiere Partie eft dans Les Memoires de l'Academie de Pannée 1705. page 277. 1706. 1. Juillet. PRINCIPES GENERAUX POUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS NUMERIQUES. R PAR M. DE LAGNY. SECONDE PARTIE. Efoudre une équation numerique, c'est trouver la valeur ou les valeurs de l'inconnuë en nombres entiers lorsque cette valeur ou ces valeurs font rationelles,' & les trouver à moins d'une unité prés, lorsqu'elles font irrationelles. Je fuppofe ces équations fans incommenfurables & fans fractions, parcequ'il eft toûjours aifé de leur donner cette forme par les regles ordinaires. Réfolution reguliere eft celle qui fe fait par une methode reglée univerfelle & infaillible. Cette methode eft d'autant plus parfaite qu'elle eft plus courte & plus fim. ple. C'eft pourquoy, fi par une certaine methode je trouve le nombre cherché deux ou trois fois plutôt que par une autre, la premiere methode eft deux ou trois fois plus parfaite ou meilleure que la feconde. De quelque methode qu'on fe ferve, on ne peut trouver que par parties & l'une aprés l'autre le nombre cherché, lorfqu'il eft grand. J'appelle ces parties, le premier, le fecond, le troifiéme, &c. membre de la racine. Ainfi dans l'extraction des racines quarrées, cubiques, &c. fuivant l'expreffion ordinaire des chifres fondée fur la progreffion décuple, fi la racine cherchée eft par exemple 8673, on trouve d'abord le premier chifre, 8, c'eft à dire le premier membre, 8000, & par le moïen de celui-ci on trouve le fecond, 6 ou 600; & par la fomme de ces deux premiers membres 86 ou 8600 confiderés comme un feul membre, on on trouvera le troifiéme, 7 ou 70; enfin par la fomme des trois premiers membres trouvés, 867 ou 8670 confiderés comme un feul membre, on trouve le quatrième & dernier membre 3, ce qui donne la racine entiere cherchée, 8673. Comme ces regles font fondées fur le choix arbitraire, ou plutôt capricieux, de la progreffion, décuple, elles fe fentent de ce défaut, & elles ne peuvent être auffi parfaites que des regles fondées uniquement fur la raison & la nature même des équations indépendamment de toute expreffion arbitraire. Le premier & le plus grand défaut de toutes les methodes qu'on a données jufqu'à present est le tatonnement. Rien ne fatigue & ne rebute tant que de travailler à l'aveugle; & quoique le nombre des taton. nemens foit reglé, il eft conftant par l'experience de tous ceux qui fe mêlent de calcul, qu'il y a un efpece de chagrin & d'affliction d'efprit inféparables du mauvais fuccès de l'operation, lorsqu'après avoir fuivi exactement les regles on trouve qu'on a pris trop ou trop peu, & qu'il faut recommencer le calcul tout de nouveau. C'eft, pour ainfi dire, fe tromper avec art & methode: toute operation où il entre du tatonnement eft indigne du nom d'operation mathematique ou scientifique. On n'a, pour s'en convaincre, qu'à comparer les operations geometriques à celles de l'Arithmetique ordinaire. Que penferoit-on de la réfolution d'un problême geometrique, où il faudroit tatonner & recommencer plufieurs fois la même operation avant que d'être affuré qu'on eût bien operé? Je fais également abstraction des erreurs de fait, & je ne parle que de celles qui font effentielles à la methode. Le principal avantage de mes logarithmes eft d'exclure abfolument tout tatonnement des operations arithmetiques, c'est à dire, de la division & de l'extraction des racines qui y font effentiellement fujettes dans l'Arithmeti que ordinaire, & le principal avantage de ma nouvelle methode de réfoudre les équations eft auffi d'en exclure tout tatonnement. 1706. PP Il faut remarquer qu'au lieu d'une espece de tatonnement qui se trouve dans la divifion ordinaire, il y en a plufieurs efpeces plus difficiles & plus embarrassantes dans l'extraction des racines, à mesure qu'on les tire d'une puif fance plus élevée, ou que l'équation eft compofée d'un plus grand nombre de termes affectés de fignes differens. Dans l'extraction de la racine quarrée, outre les tatonnemens effentiels à la divifion, il y en a une nouvelle ef pece de plus; parceque le divifeur qui devroit & qui ne peut pas être 2ab+b, car c'eft b qu'on cherche, eft feulement 2a+1; ainfi il ne fuffit pas de trouver par les tatonnemens ordinaires de la divifion le plus grand quotient qui multiplié par 2a+1 produife 2ab+b, tel que ce produit puiffe être ôté du dividende correfpondant, il faut qu'on en puiffe ôter 2ab+bb. Je fuppofe 6 plus grand que I. Dans l'extraction de la racine cubique le diviseur devroit & ne peut pas être 3aa3ab→bb, parceque c'eft b qu'on cherche, & on ne peut prendre univerfellement pour diviseur que 3 aa+za+1; c'eft pourquoi le tatonnement eft plus grand que dans la racine quarrée: car il ne fuffit pas de pouvoir ôter du dividende 3aab + 3ab1b, il faut en pouvoir ôter za ab→zabb→b3, ainfi du refte. Je fuppofe toûjours b plus grand que 1. 3 En un mot dans l'extraction des racines le diviseur eft toûjours trop petit & imparfait, & d'autant plus imparfait que la racine cherchée eft celle d'une puiffance plus élevée. C'eft encore toute autre chofe dans l'extraction nume. rique des racines des équations compofées. Car le grand nombre des termes, le raport different des coëfficiens, & le mêlange des fignes & qui fe détruifent en partie, caufe neceffairement une tres-grande incertitude dans les operations, & les tatonnemens s'y trouvent en plus grand nombre, plus pénibles, plus rebutans & plus fujets à er reur: Le fecond défaut des anciennes methodes vient du choix arbitraire de la progreffion décuple, qui fixe le raport du premier membre d'une racine cherchée au fecond, & celui du second au troifiéme, & ainfi de fuite fans aucune raison & contre la nature de l'équation; ce qui rend en general la réfolution plus longue & plus imparfaite. Comme il s'agit de détruire un préjugé également ancien & general, je vais tâcher de rendre fenfible ce défaut dont perfonne, que je fçache, ne s'eft apperçû. Je fuppofe qu'on veuille trouver le raport du rayon au côté de l'octodecagone. J'appelle le rayon a & le côté x, j'aurai cette équation à réfoudre, x3zaax-a3. Et fuppofant le rayon a= 100000.000, j'aurai cette équation numerique, x3-300000.00000.00000.0x-100000000.00000000. Ou pour abreger l'expreffion, x3=301x—101⁄4. Il faut trouver la petite valeur d'x. Si l'on fuit les methodes ordinaires de Viete, d'Harriot, d'Ougtred, &c. on trouvera x=34729.635. La premiere operation donnera le premier chifre 3, & celui-ci par une feconde operation plus longue que la premiere donnera le second chifre 4. Ces deux joints enfemble & faifant 34 donneront par une troifiéme operation beaucoup plus longue que la feconde le troifiéme chifre 7, & ces trois joints ensemble faifant 347 donneront par une quatrième operation incomparablement plus longue que les trois autres le quatrième chifre 2, & ainfi de fuite; enforte qu'il y a toûjours autant d'operations à faire que de chifres à trouver dans la racine, & que la difficulté de les trouver augmente continuellement à chaque operation. Mais fuivant ma methode on trouvera, Pour premier membre a=33333-333 . I Pour le troifiéme ..... 7.413+ Somme 1388.888 =34729.635+ Il est évident que cette derniere methode eft incomparablement plus abregée que la premiere. Le troifiéme défaut eft d'exprimer les valeurs des racines des équations numeriques par des formules irrationelles qui font ou tout à fait inutiles, n'étant qu'une pure petition de principe, ou qui donnent des valeurs de l'inconnue plus obfcures & plus inintelligibles aprés cette prétendue réfolution qu'auparavant. Si l'on demande la valeur de x dans l'équation xx=7056 & qu'on réponde, x est égal à la racine quarrée de 7056. x=7056, c'eft certainement tres-mal répondre; car c'est une pure petition de principe, & je n'en fuis pas plus avancé : il faut répondre, x eft égal à 84, & fi l'équation eût été xx=7200, il auroit fallu répondre x eft irrationelle & fa valeur eft entre 84 & 85. Il est vrai qu'il faut encore pouvoir approcher à l'infini de la veritable valeur en fractions; car une équation numerique n'est parfaitement réfoluë que lorsqu'on donne toutes les valeurs poffibles rationelles en nombres, & qu'on peut approcher à l'infini des valeurs irrationelles, tout le refte eft chimerique. Soit l'équation du fecond degré xx-+54876x=384181, fi l'on répond suivant la formule irrationelle ordinaire xxax bb qui donne x=Vaa→bb¬¦a; si, dis je, l'on répond x=753. 228. 025-27438, on aura tresmal répondu & tres-mal operé, car la racine eft 7 ; & au lieu du grand & pénible détour qu'il faut prendre fuivant la formule, je n'ai qu'à comparer le coëfficient d'x qui eft 54876 comme diviseur à l'homogene de comparaison, 384181, je vois qu'en 38 qui font les deux premiers chifres du dividende s premier chifre du divifeur y eft 7 fois, & je me déterminé à prendre 7, parceque comptant les chifres du coëfficient comme côté, & ceux de l'homogene comme plan, je trouve cinq tranches dans le premier, & trois seulement dans le fecond, ce qui marque que le coëfficient eft le terme dominant, & dans tous les cas femblables on peut & on doit operer de même. Après avoir trou |