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46 34'

la racine ou plutôt une des racines fera comme fi l'é quation eft x4 ccx-3c3, on aura a=4cc & b=3c3, & par confequent a64c° & bb=9co; donc bb

46

1203

64cd

& 4b = c. Il est évident que xc; car en

34

1200

7& fubftituant à la place d'x dans l'équation x'—4ccx—3c3,

on aura c' 4c3 — 3c3 — c'.

13

3o. Si le quotient eft 7, une des racines fera

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3c8 la racine fera 2 × b

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66

Ou

Mais fi le quotient ne fe trouve pas dans la fuite de cette progreffion, la racine cherchée sera neceffairement entre les deux termes prochains de cette même progref fion; ainfi lorfque ce quotient eft 27 comme dans l'équation de l'octodecagone x'=3x-1, ou x'—12x—8, ou x3=27x-27, ou x'=48x-64 &c. x3— 300 x — 1000 256 246 &c. la racine cherchée eft entre & parceque lorf que x= 24 le quotient 2620, & lorsque x=

234

43

bb

244

529

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même quotient est égal à 27 suivant la formule

3

- 8

bb

73 576

+1 pour le quotient, & fuivant la formule

pour la racine. Ces deux formules commencent par s 6. 7. continuant à l'infini. On a donc pour premiers membres de la racine cherchée -2xb

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niment petit par raport aux quantités conftantes a,

43

fi l'on fubftitue à la place de c dans l'équation

bb

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,

:- 2 x 6.

abbxa. Si

=c(c'est une nouvelle valeur de c diffe

rente de la formule

2x b

63

) & qu'on substituë “cette va

leur dans la fraction on aura pour premiers

az b b x a

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qui eft précisément la valeur trouvée par la regle. Ce qu'il falloit démontrer.

Pour trouver enfuite les autres membres e

c3

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zee

bef &c. je suppose c-+ —e, ou a x-x3—b. Or puisque e eft plus petit que x, il s'enfuit neceffairement que l'homogene de comparaifon pour ae-e fera plus perit que l'homogene de comparaison pour ax-x1, c'est à dire que le premier fera plus petit que b. Soit donc a-eef, il s'enfuit que feft plus petit que b, & b-ef eft la difference des deux homogenes de comparaifon pour les équations femblables,

ax-x3-b. ae-ee.

ae—e—ef=a-eexe.

b

x

Enfin pour avoir un troifiéme homogene, puifque x eft un nombre entier & que e eft plus petit, je ne puis pas fuppofer moins pour x que et que je fubftitue dans l'équation ax+x'b, ou a-xx= ==, ce qui me donte ae➡+1a-ee e¬zee—ze—1—d, & fi db la queftion eft réfoluë, & xe+1; mais fi l'homogene d eft encore plus petit que 6, il est évidemment plus grand que ef, parceque l'homogene de comparaifon augmente à mefure que la racine qui le forme augmente, & d eft formé par e+1, & ef feulement par : c'eft - pourquoi je fais une regle de 3, & je dis la difference des homogenes

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.

· ́ae-eef & aee-zee-3e-11ad eft a3ee-3e-1. Celle des homogenes ax-x3-b & ae—e3

ef eft b-ef. La difference des racinese & ei qui ont formé les homogenes ef & d eft 1. Je dis donc fuivant la regle de la premiere partie de ce Traité, fi a3ee-3e-1 difference dans l'homogene vient de i difference dans les racines, de combien viendra b—ef? b-ef Le quotient donnera le troifiéme membre de

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la racine, mais parceque 3e-1 eft un infiniment petit par raport aux quantités conftantes a & b, ef, je ne prends universellement bef que . Ce qu'il falloit trouver.

-zee

Il me reste à prouver que ce troifiéme membre & la fuite des autres qu'on peut trouver de la même maniere à l'infini, forment une fomme plus petite que la racine, & qui en approche à l'infini lorsqu'elle eft irrationelle, & c'est tout ce qu'on peut fouhaiter en ces matieres. Soit trois équations femblables.

xax-b. & foit y=x+e.

ys—ay-c.

༢=༧༢—d,

Je dis

&z=y→f=x+e+f.

quatrième quantité x ) =

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que fi l'on fait comme c-b: d-c:: y-x x à une **=*, la composée y→2=cyfera plus petite que zou que xe→ƒ. Car en substi.

tuant on aura ax

Donc c-b

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que

& ay-y=c

ou axae— x3-3exx-zeex—e—c. ae zexx 3 eex-e &c. & enfin on aura afe-f3e-3 ffex-3ffee, -3 fexx-6eefx-3 fe3

ae

zexx-zee x — e3

qui eft plus petit que f, puifqu'il refte tous termes negatifs.

On prouvera de la même maniere que cette difference deviendra plus petite qu'aucune quantité donnée, & que par confequent on peut approcher à l'infini de la valeur de la racine lorfqu'elle eft irrationelle.

Enfin non-feulement tous les autres cas réductibles ou

irréductibles du troifiéme degré, mais generalement tou-
tes les équations fe peuvent réfoudre par les mêmes prin-
cipes, c'est à dire par la regle de trois appliquée à la dif
ference des homogenes, & à celles des valeurs qui les ont
s'arrêter à le dé-
produits, ce qui eft
évident pour
trop
montrer en détail.

SUR UNE PROPOSITION

D

DE

GEOMETRIE ELEMENTAIRE.

PAR M. DE LAGNY.

THEOREM E.

28. Juillet,

Ans tout parallelogramme la fomme des quarrez 1706. des deux diagonales éft égale à la fomine des quarrez des quatre côtez.

Si le parallelogramme eft rectan. gle, la propofition est évidente par la 47. p. 1. Il faut la prouver dans les obliquangles.

A

DE

B

CF

Soit le parallelogramme obliquangle ABCD compris fous les quatre côtez AB, BC, CD, DA, dont les côtez oppofez font AB, CD, & AD, BC; la grande diagonale BD & la petitè AC. Je dis que la fomme des quarrez des deux diagonales BD, AC, est égale à la fomme des quarrez des quatre côtez AB, BC, CD, DA.

PREPARATION.

Du point A de l'angle obtus DAB foit abbaiffée sur le côté CD la perpendiculaire AE, & du point B fommet de l'angle aigu ABC fur DC prolongé en F la perpendiculaire BF.

DEMONSTRATION.

Les triangles ADE, BCF, font égaux & semblables, puifque AD eft égale à BC, & les angles ADE, BCF, de de même que AED, BCF, font auffi égaux, donc DE eft égal à CF. Or par la 12. p. 2. dans le triangle obtufangle BDC, le quarré du côté BD eft égal à la fomme des quarrez de BC & de CD, plus le double du rectangle de CF par CD; & par la 13. p. 2. dans le triangle DAC, le quarré du côté AC est égal à la fomme des quarrez de AD & de CD, moins deux fois le rectangle du même CD par DE égal à CF. Donc l'excés compenfant précisément le défaut, la fomme des quarrez des deux diagonales est égale à la fomme des quarrez des quatre côtez. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE

1.

Dans tout rhombe ou lozange connoissant un côté & une diagonale, on connoîtra l'autre diagonale. Car puis que les quatre côtez font égaux, il n'y a qu'à ôter le quarré de la diagonale donnée du quadruple du quarré du côté, le refte fera le quarré de la diagonale cherchée. USAGE.

Soit un quadrilatere équilateral quelconque ABCD rectiligne & fur un plan indéfini.

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