1 46 34' la racine ou plutôt une des racines fera comme fi l'é quation eft x4 ccx-3c3, on aura a=4cc & b=3c3, & par confequent a64c° & bb=9co; donc bb 46 1203 64cd & 4b = c. Il est évident que xc; car en 34 1200 7& fubftituant à la place d'x dans l'équation x'—4ccx—3c3, on aura c' 4c3 — 3c3 — c'. 13 3o. Si le quotient eft 7, une des racines fera 3c8 la racine fera 2 × b 66 Ou Mais fi le quotient ne fe trouve pas dans la fuite de cette progreffion, la racine cherchée sera neceffairement entre les deux termes prochains de cette même progref fion; ainfi lorfque ce quotient eft 27 comme dans l'équation de l'octodecagone x'=3x-1, ou x'—12x—8, ou x3=27x-27, ou x'=48x-64 &c. x3— 300 x — 1000 256 246 &c. la racine cherchée eft entre & parceque lorf que x= 24 le quotient 2620, & lorsque x= 234 43 bb 244 529 même quotient est égal à 27 suivant la formule 3 - 8 bb 73 576 +1 pour le quotient, & fuivant la formule pour la racine. Ces deux formules commencent par s 6. 7. continuant à l'infini. On a donc pour premiers membres de la racine cherchée -2xb niment petit par raport aux quantités conftantes a, 43 fi l'on fubftitue à la place de c dans l'équation bb , :- 2 x 6. abbxa. Si =c(c'est une nouvelle valeur de c diffe rente de la formule 2x b 63 ) & qu'on substituë “cette va leur dans la fraction on aura pour premiers az b b x a qui eft précisément la valeur trouvée par la regle. Ce qu'il falloit démontrer. Pour trouver enfuite les autres membres e c3 zee bef &c. je suppose c-+ —e, ou a x-x3—b. Or puisque e eft plus petit que x, il s'enfuit neceffairement que l'homogene de comparaifon pour ae-e fera plus perit que l'homogene de comparaison pour ax-x1, c'est à dire que le premier fera plus petit que b. Soit donc a-eef, il s'enfuit que feft plus petit que b, & b-ef eft la difference des deux homogenes de comparaifon pour les équations femblables, ax-x3-b. ae-ee. ae—e—ef=a-eexe. b x Enfin pour avoir un troifiéme homogene, puifque x eft un nombre entier & que e eft plus petit, je ne puis pas fuppofer moins pour x que et que je fubftitue dans l'équation ax+x'b, ou a-xx= ==, ce qui me donte ae➡+1a-ee e¬zee—ze—1—d, & fi db la queftion eft réfoluë, & xe+1; mais fi l'homogene d eft encore plus petit que 6, il est évidemment plus grand que ef, parceque l'homogene de comparaifon augmente à mefure que la racine qui le forme augmente, & d eft formé par e+1, & ef feulement par : c'eft - pourquoi je fais une regle de 3, & je dis la difference des homogenes . · ́ae-eef & aee-zee-3e-11ad eft a3ee-3e-1. Celle des homogenes ax-x3-b & ae—e3 ef eft b-ef. La difference des racinese & ei qui ont formé les homogenes ef & d eft 1. Je dis donc fuivant la regle de la premiere partie de ce Traité, fi a3ee-3e-1 difference dans l'homogene vient de i difference dans les racines, de combien viendra b—ef? b-ef Le quotient donnera le troifiéme membre de la racine, mais parceque 3e-1 eft un infiniment petit par raport aux quantités conftantes a & b, ef, je ne prends universellement bef que . Ce qu'il falloit trouver. -zee Il me reste à prouver que ce troifiéme membre & la fuite des autres qu'on peut trouver de la même maniere à l'infini, forment une fomme plus petite que la racine, & qui en approche à l'infini lorsqu'elle eft irrationelle, & c'est tout ce qu'on peut fouhaiter en ces matieres. Soit trois équations femblables. xax-b. & foit y=x+e. ys—ay-c. ༢=༧༢—d, Je dis &z=y→f=x+e+f. quatrième quantité x ) = que fi l'on fait comme c-b: d-c:: y-x x à une **=*, la composée y→2=cyfera plus petite que zou que xe→ƒ. Car en substi. tuant on aura ax Donc c-b que & ay-y=c ou axae— x3-3exx-zeex—e—c. ae zexx 3 eex-e &c. & enfin on aura afe-f3e-3 ffex-3ffee, -3 fexx-6eefx-3 fe3 ae zexx-zee x — e3 qui eft plus petit que f, puifqu'il refte tous termes negatifs. On prouvera de la même maniere que cette difference deviendra plus petite qu'aucune quantité donnée, & que par confequent on peut approcher à l'infini de la valeur de la racine lorfqu'elle eft irrationelle. Enfin non-feulement tous les autres cas réductibles ou lâ irréductibles du troifiéme degré, mais generalement tou- SUR UNE PROPOSITION D DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE. PAR M. DE LAGNY. THEOREM E. 28. Juillet, Ans tout parallelogramme la fomme des quarrez 1706. des deux diagonales éft égale à la fomine des quarrez des quatre côtez. Si le parallelogramme eft rectan. gle, la propofition est évidente par la 47. p. 1. Il faut la prouver dans les obliquangles. A DE B CF Soit le parallelogramme obliquangle ABCD compris fous les quatre côtez AB, BC, CD, DA, dont les côtez oppofez font AB, CD, & AD, BC; la grande diagonale BD & la petitè AC. Je dis que la fomme des quarrez des deux diagonales BD, AC, est égale à la fomme des quarrez des quatre côtez AB, BC, CD, DA. PREPARATION. Du point A de l'angle obtus DAB foit abbaiffée sur le côté CD la perpendiculaire AE, & du point B fommet de l'angle aigu ABC fur DC prolongé en F la perpendiculaire BF. DEMONSTRATION. Les triangles ADE, BCF, font égaux & semblables, puifque AD eft égale à BC, & les angles ADE, BCF, de de même que AED, BCF, font auffi égaux, donc DE eft égal à CF. Or par la 12. p. 2. dans le triangle obtufangle BDC, le quarré du côté BD eft égal à la fomme des quarrez de BC & de CD, plus le double du rectangle de CF par CD; & par la 13. p. 2. dans le triangle DAC, le quarré du côté AC est égal à la fomme des quarrez de AD & de CD, moins deux fois le rectangle du même CD par DE égal à CF. Donc l'excés compenfant précisément le défaut, la fomme des quarrez des deux diagonales est égale à la fomme des quarrez des quatre côtez. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE 1. Dans tout rhombe ou lozange connoissant un côté & une diagonale, on connoîtra l'autre diagonale. Car puis que les quatre côtez font égaux, il n'y a qu'à ôter le quarré de la diagonale donnée du quadruple du quarré du côté, le refte fera le quarré de la diagonale cherchée. USAGE. Soit un quadrilatere équilateral quelconque ABCD rectiligne & fur un plan indéfini. |