2o. On verra fi tous les termes ne font point multipliés par une même grandeur ; & comme on trouve qu'ils le font par d, on les divifera pard, qui eft déja un des divifeurs fimples du dernier terme; il le faut mettre à part, & l'équation feinte fe babbaa b3 a b3c=0. ra at - ca3 + zbcaa- bcca 3°. Il faut chercher par le premier Problême, fi une équation lineaire de l'inconnue a plus ou moins un diviseur du dernier terme b3c, ne feroit point un diviseur exact de cette équation feinte: Si l'on en trouvoit une qui fût un divifeur exact, on la mettroit à part, comme étant un divifeur lineaire du dernier terme de la propofée, & on chercheroit de même si le quotient n'auroit point de femblables divifeurs lineaires ; ce qu'on continueroit jufqu'à ce qu'on trou vât un quotient qui n'eût plus de ces divifeurs lineaires. Si le premier terme at de l'équation feinte avoit un autre coëficient on fe ferviroit du fecond Problême l'unité que pour trouver les divifeurs de l'équation feinte, dans lesquels Ï'inconnue a fût lineaire. Mais comme l'équation feinte qui fert d'exemple n'a aucun de ces divifeurs dans lefquels a foit lineaire, il faut trouver les divifeurs dans lefquels a foit du fecond degré. 4°. Pour les trouver, on y appliquera la methode du cinquiéme Problême; c'eft à dire, fuppofant que la formule x+ + nx3 + pxx ➡ q* r = 0, reprefente cette équation feinte, on supposera n b. -c, p=bb + 2bc, q= b3 bcc, r = b3c. On fubftituera ces valeurs à la place de n, p, q, r, dans la réduite gʻ — pg3 + nggt rg+ 9983 ngrgg nnrg' rrgg 2prg3 & elle fera changée en cette autre réduite, -- gʻ — bbgs = b+g+ - bog3 +b7cgg ·2bcgs+bbccg+ -bbc + g3 b3 c3gg - -b3ccg b'c3=0. Il faudra chercher les divifeurs de deux dimenfions communs au dernier terme b'c3 de cette réduite, & au dernier terme b'c de l'équation feinte: ces divifeurs font bb, bc. Il faudra enfuite substituer fucceffivement → bb, → bb, bc bc, à la place de g dans la réduite, & parcequ'on trouve que la fubftitution debb fait détruire toutes les quantités de la réduite par des fignes contraires, bb elt une valeur de g, c'est à dire g = bb. n, Il faut fubftituer bb au lieu de g, & les valeurs de q, r, à leur place, dans f ngg - neq; & l'on trouvera f c. Substituant ces valeurs de f & de g dans xx ➡+ƒx g=0, qui est dans cet exemple aa +fa + g on la changera en aa- ca bb = 0, qui eft un divifeur exact de la propofée; le quotient eft aa ab + cd o. Ainfi les divifeurs de deux dimenfions de la propofée font aa ac + bb, aa abcd. Comme il n'y a pas d'autres divifeurs plus compofés à chercher dans notre exemple, pour avoir tous les diviseurs du dernier terme de la propofée, il n'y a qu'à multiplier ceux qu'on a trouvés les uns par les autres, & on les aura tous. Ce qui étoit propofé.. REMARQUE. Si le dernier terme de l'équation feinte du dernier terme de la propofée, étoit encore fort compofé, on feroit de ce dernier terme de l'équation feinte, une feconde équation feinte, & on en trouveroit tous les divifeurs, comme on les a trouvé de la premiere, & ils ferviroient enfuite à trouver tous les divifeurs de la premiere équation feinte. Cette methode n'a pas befoin de démonstration aprés celle du cinquiéme Problême.. 71. Où l'on explique la maniere de refoudre les équations qui ont toutes leurs racines égales, ou qui en ont feulement quelques-unes d'égales & commenfurables &la maniere d'abaiffer à un moindre degré les équations qui ont quelques-unes de leurs racines égales & incommenfurables, & de diminuer le nombre de leurs inconnues, lorfqu'elles en ont plufieurs. A PROBLEME VI. RESOUDRE OUDRE une équation compofée, dont toutes les raci nes font égales; c'est à dire, trouver toutes les racines égales. Il est évident qu'il fuffit d'en trouver une feule; pour cela il faut prendre la racine du dernier terme de la propofée, dont l'expofant foit égal à celui du degré de la propofée, & elle fera la racine de la propofée. захх заах Par exemple, l'équation 3 contient trois racines égales; pour les trouver, il faut tirer la racine troifiéme du dernier terme a3, & l'on aura a pour la racine de la propofée, c'est à dire x = a. ·4x3 2 De même fuppofé qu'on fçache que l'équation x-4 +6xx√4 4×8+2=0, a toutes les racines égales, la racine quatrième du dernier terme, qui eft 4/2, eft la racine de la propofée, c'eft à dire x = V2. La démonstration eft évidente, fi l'on fait reflexion que le dernier terme de l'équation eft le produit de toutes les racines. PROBLEME VII. 72. LORSQU'IL y a plufieurs racines égales pofitives dans une équation compofée quelconque, les trouver lorfqu'elles font commenfurables, & abaiffer l'équation à un moindre degré, lorf que les racines égales font incommenfarables. 1o. METHODE GENERALE. ON fuppofera que chaque racine égale eft reprefentée par ƒ, ainfi x=f, x − ƒ = o ; & xx f, · 2fx ➡ff = 0, represente une équation de deux racines égales; x3-- 3ƒxx : → 3ffx — ƒ3 = o, reprefente une équation de trois racines égales; x+ 4fx36ffxx 4ƒ3xf+= o, en represen te une de quatre racines égales, &c. 2o. Il faudra diviser la formule generale des équations du fecond degré, du troifiéme, du quatriéme, &c. par xx - 2fx ffo, lorfque l'on cherchera deux racines égales; il faudra divifer la formule du troifiéme, quatriéme degré, &c. par x3 3fxx3ffx-fo, lorfqu'on cherchera trois racines égales; & ainfi de fuite. Il faudra continuer la divifion jufqu'à ce qu'on foit arrivé à un refte, dans lequel x foit moins élevée d'un degré que dans le diviseur. 3o. Il faudra supposer chacun des termes de ce refte égal à & y mettre l'inconnue x =ƒà la place de f. zero, Ces équations feront les formules generales propres à faire trouver les racines égales dans chaque degré, quand elles font commenfurables; ou à abaiffer l'équation qui aura des racines égales à un moindre degré, quand elles font incommenfurables. Application de la metbode aux équations du 2o, 3o, 4′, 5o & 6o degré, qui ont deux racines égales. Pour le fecond degré. 1o. Il faut divifer xx ➡nx →→ p = o, par xx — L 2fxff ; & l'on aura le refte nx + 2fx + p — ff, où x eft d'un degré moins élevée que dans le divifeur. 2x 2o. Il faut fuppofer chaque terme de ce refte égal à zero & l'on aura 2fn=0, - ffpo; il faut fubftituer dans ces équations xf, à la place de f, & l'on aura 2× ➡n=0,- xxp=0; ce qui donne immédiatement la valeur de x dans le fecond degré : car x =— encore xx=p, d'où l'on déduit x= Pour le troifiéme degré. qo, ; ou bien 2fx 1o. ON divifera 3nxx ➡ px ➡q=02 par xx ffo, jufqu'à ce qu'on foit arrivé au reste➡ px → 2nfx ff +3ffx, q nff — 2f3. ઢે 2°. On fuppofera chaque terme de ce reste égal à zero; & aprés avoir mis dans les deux équations qui en naîtront la place de f, l'on aura 3xx 2x + p = 0, & nxx q=0. x ON Pour le quatrième degré. N trouvera par une femblable operation ces deux formules 4x3 3nxx o, & 3207 2nx pxx r = 0. 4x2 O Pour le cinquième degré. N trouvera 5×a ➡ 4nx3 ➡ 3pxx+2qx➡r=0,&— 4:28? 3nx+- 2px3 ON qxxs=0. Pour le fixième degré. N trouvera ces deux formules 6x + 5nx2 + 4px3 +39xx ➡2rx + s = 0, & — 5×3 — 4nx$ - Application de la metbode aux équations qui ont trois racines égales. Pour le troifiéme degré. IL L faut divifer 3 → nxx + px + q = 0; par ×3 3fxx ➡3ffx — ƒ3=0, & le refte nxx px +q=0, ➡3fxx― 3ffx +ƒ3 contenant xx, qui eft moins élevée d'un degré que 3 dans le divifeur; on fuppofera chacun des termes de ce refte égal à zero, & l'on y fubftituera x à la place de f; ce qui donnera les trois formules fuivantes 3x+12=0 ON N trouvera par une femblable operation en divifant ** →nx3, &c. par x3-3fxx, &c. le reste 6ffxx 3nfxx + + +pxx 8f3x3nffxqx 3ft → nf3 →ro; on fuppofera chaque terme égal à zero; & aprés avoir fubftitué =ƒà la place de f, on aura les trois formules fuivantes, +6xx + 3nx p=0, EN divifant xnx, &c. par x3-3fxx, &c. on trouvera |