des nombres rompus pofitifs en allant de a° vers la droite, & négatifs en allant de ao ver la gauche.

Pour faire concevoir que les expofants de ce nombre infini de puiffances de a mifes de fuite en progreffion geometrique, font entr'eux une progreffion arithmetique, dont la difference eft le plus petit nombre qu'on puisse imaginer, il n'y a qu'à faire remarquer une maniere fimple de trouver ces termes moyens à l'infini entre les termes marqués dans B- Par exemple pour trouver tous les termes entre a° &a', ou entre 1 &a', il n'y a qu'à prendre le terme moyen proportionel geometrique a; & pour avoir fon expofant, il n'y a qu'à prendre le moyen arithmetique proportionel entre o& 1 qui eft. Ainfi l'on aura :: ao, a1, a'.

3

من

I

On prendra de même la moitié de oqui eft, & la moitiê

I

Ι

de 1+1=1, laquelle moitié eft, & l'on aura :: ao, a1‚a*, a, a1. On conçoit clairement qu'on peut ainfi continuer de prendre des termes moyens proportionels, tant les geometriques que les arithmetiques correspondants, & cela à l'infini, & qu'on peut enfuite, au lieu d'un moyen proportionel, prendre deux trois, quatre, &c. moyens proportionels geometriques entre deux termes voisins, & prendre en même temps les moyens proportionels arithmetiques correspondants qui ferviront d'expofants aux geometriques.

En imaginant de la même maniere les moyens proportionels geometriques entre tous les termes voifins & les arithmetiques qui leur fervent d'expofants, on verra clairement qu'on peut concevoir ane progreffion geometrique infinie de toutes les puiffances de fuite d'une grandeur, dont les expofants feront aufft une progression arithmetique.

L'on remarquera que toutes les fois qu'on prendra quatre ter mes, dans la progreffion geometrique, qui feront entr'eux une proportion geometrique, les quatre expofants de ces quatre termes feront entr'eux une proportion arithmetique: Et que toutes les fois qu'on prendra plufieurs termes, c'est à dire tant des termes qu'on voudra, dans la progreffion geometrique, qui, quoiqu'éloi gnés les uns des autres, feront pourtant entr'eux une progreffion geometriques les expofants de tous ces termes, pris dans le même ordre feront entr'eux une progreffion arithmetique; c'est à dire, la même difference regnera dans leur progression.

Mais quand zero eft le premier terme d'une proportion arithmetique O, 1: 2, 1+2= 3, il faut ajouter le fecond & le troifiéme terme, &la fomme eft le quatrième terme. Quand zero eft le quatrieme terme d'une proportion arithmetique 3,2: 1,0, il faut retrancher le fecond terme du premier,& la difference eft le troifiéme terme. Enfin quand zero eft le premier ou le dernier terme d'une progreffion arithmetique 0, 1, 2, 3,4; 4, 3, 2, 1, 0, il faut multiplier le terme le plus proche de zero, qui eft la difference de la progreffion, par le nombre des termes depuis zero non compris, par exemple par 4, fi l'on veut le quatrième terme depuis Zero non compris, & le produit eft le terme que l'on cherche.

par

C'eft laraifon des regles qu'on a données pour multiplier & pour divifer deux puiflances d'une même grandeur l'une l'autre par le moyen des expofants; & pour élever une puissance d'une gran deur à une autre puissance dont l'expofant eft donné Car pour multiplier par exemple a2 par a3, il y a une proportion geometrique a ou I. a2:: a3.a3, dont l'unité eft le premier terme, a2 &a3 font le fecond & le troifiéme terme, & le produit as que l'on cherche eft le quatrième terme. Les expofants o, 2: 3,3+2=5 font auffi une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme, expofants 2 & 3 des grandeurs à multiplier, a2, a3, font le fecond & le troifiéme terme : ainsi ajoutant 2 + 3, la fomme 5 est l'expofant du terme as que l'on cherchoit.

les

Pour divifer a par a2, il y a une proportion geometrique a3.a2 :: a1‚ao ou 1, dont a3 eft le premier terme ; le diviseur aa le fecond terme; le quotient a1 que l'on cherche est le troifiéme terme, & l'unité a ou 1 eft le quatrieme terme. Les expo/ants 3,2: 1,0, font auffi une proportion arithmetique; le premier terme eft 3, le Second eft 2,le troifiéme 1 eft l'expofant du quotient que l'on cherche, &zero eft le quatriéme terme; ainfi en retranchant le fecond terme 2 du premier terme 3, la difference 1 eft l'expofant du quotient l'on cherche.

que

I

Pour élever la puissance d'une grandeur comme a1 à une puiffance dont l'expofant eft donné, par exemple à la puissance dont L'expofant eft 4, il y a une progreffion geometrique aoou 1,a1, a2 a3, a1, dont le premier terme eft l'unité, la puissance donnée a1 eft le premier terme aprés l'unité, & la puissance a que l'on chercbe

eft le quatrième terme aprés l'unité. Les expofants font auffi une progreffion arithmetique 0, 1,2,3,4, depuis zero; le premier terme aprés zero eft l'unité, & c'est la difference de la progression; l'exposant que l'on cherche eft le quatrième terme aprés zero; & dans une progreffion arithmetique, la difference étant connue, qui eft ici 1, & le nombre des termes aprés zero, qui eft ici 4, il n'y a qu'à multiplier la difference par le nombre des termes depuis zero non compris, & le produit, qui eft ici 4, eft le terme que l'on cherche de la progreffion arithmetique, & par confequent l'expofant de la puillance at que l'on cherchoit.

من

ANALYSE

ANALYSE DEMONTRÉE,

LIVRE 1.

DE L'ANALYSE, QUI ENSEIGNE à réfoudre les Problêmes qui fe réduisent à des équations fimples."

SECTION I

La Methode de réduire un Problême en équations.

RED

PROBLEME I.

EDUIRE un Problême en équations ; c'est à dire,exprimer par des équations tous les raports d'un Problème.

L faut diftinguer avec beaucoup d'attention les trois choses que renferme le Problême: 1. Les grandeurs connues: 2. Les grandeurs inconnues qu'on cherche, ou qui fervent à faire trouver celles qu'on cherche: 3. Les rapports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, ou même ceux qui font entre les inconnues.

2o. Il faut marquer les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet a, b, c, &c. & les inconnues par les dernieres s, t, v, x, y, z.

Il eft bon auffi de marquer les grandeurs connues & in

A

connues par les premieres lettrès des noms qui les expriment: Par exemple, de marquer un nombre en general parn, une fomme pars, le temps part, la viteffe par v, une tangente par t, une foutangente pars, & ainfi des autres; cela foulage la memoire.

3. Il faut fuppofer le Problême comme refolu, en regardant les inconnues comme fi elles étoient connues & trouver par le moyen des rapports connus du Problême, autant d'équations, qu'on a fuppofé d'inconnues. Il faut obferver autant qu'on peut, l'ordre naturel dans la formation des équations, c'eft à dire qu'il faut commencer par les rapports les plus fimples, & fe fervir enfuite par ordre des rapports les plus compofés.

EXEMPLE I.

TROUVER le quatrième terme d'une proportion, dont

on connoît les trois premiers termes.

1o. Je remarque les grandeurs connues qui font les trois premiers termes connus, la grandeur inconnue qui eft le quatriéme terme, & les rapports connus entre les grandeurs connues & l'inconnue: dans ce Problême, les rapports connus font le rapport qui eft entre la premiere & la feconde grandeur connue, & le rapport qui eft entre la troifiéme grandeur connue, & la quatrieme qui eft l'inconnue qu'on cherche, ces deux rapports font égaux; par confequent le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

2°. Je marque les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet, & l'inconnue par une des dernieres ; de cette maniere. Soit le premier terme a. Le fecond b. Le troifiéme c. Le quatriéme = x.

3. Par le moyen des rapports connus, j'ai cette proportion a. b:: c. x.

Et le produit des extrêmes étant égal à celui des moyens, l'on aura cette équation ax = bc, qui eft celle du Pro.

blême.

EXEMPLE II.

TROUVER la fomme de tous les termes infinis d'une progreffion geometrique qui va en diminuant, dont on cori. noît le premier & le fecond terme.