p.xa.. ainfi eft la perte que fait la quantité x d'argent qui eft dans l'ouvrage.

by

Par un raisonnement femblable à celui qui précede, le poids du lingot d'or pur p.y: b. ainfi eft la perte que fait la quantité y d'or qui eft dans l'ouvrage; mais ces deux quantités de perte & doivent être enfemble égales à la pertec que fait l'ouvrage étant pefé dans l'eau.

AЯ

L'on a donc cette feconde équation 4*+ = c. by

Il faut substituer la valeur de x prise dans la premiere équation, qui est x=py, dans cette feconde équation, & l'on aurae, où l'on trouvera y ap-a. Substituant cette valeur dans xp, on trouvera x = L h

P

Si l'on refout chacune de ces égalités en proportion, on trouvera ab.p::a-c.3. a-b⋅p::c-b.x. Ce font les proportions que donne la regle d'alliage.

I

Si l'on fuppofe le poids de l'ouvrage p10 livres,que l'argent perd la dixième partie de fon poids dans l'eau, c'est à dire que 10 livres d'argent perdent une livre, l'on aura a=! que For y perd la dix-huitiéme partie de fon poids, l'on aura b = 1/80 , que l'ouvrage perd d'une livre de fon poids dans l'eau, c'est à dire c=}.

On trouvera que la quantité d'argent mêlé dans l'ouvrage est x=2 liv. ; la quantité d'or eft y=7 liv..

V.

Trouver entre deux grandeurs données a & b, autant de moyennes proportionnelles qu'on voudra, ce nombre de moyennes proportionnelles foit nommé n.

Il fuffit de trouver le premier terme moyen proportionnel, car par la regle de trois, on aura tous les autres.

Soit ce premier moyen — x.

Suivant ce qui eft démontré dans les rapports compofés atı. ***1 :: a. b. d'où l'on déduit ax' *b, divifant chaque membre par a, l'on aura xab; en tirant la racine dont l'expofant eft ni de chaque membre, l'on aura x= √ ab.

Si on demande un feul moyen proportionnel, l'on aura "=1,& n+1=2, ainsi x=ab.

Si on demande deux moyens, l'on aura n=2, ainfi xab..

=3,

Si on en demande trois, l'on aura x=a3b, &c.

VI.

On prendra un exemple de Phyfique fur le reffort de l'air pour le fixiéme.

2

Soit fuppofé un tuyau de verre d'une longueur déterminée telle qu'on voudra, comme de 30 pouces, fermé d'un bout & ouvert de l'autre, qu'on rempliffe de mercure à la referve d'une certaine quantité d'air groffier qu'on y laiffe telle qu'on voudra, par exemple de huit pouces : l'on demande aprés avoir renversé le tuyau, & mis l'ouverture dans un vaiffeau plein de mercure, quelle fera la quantité du tuyau qu'occupera l'air qu'on y a laiffé aprés s'être étendu par fon reffort, & à quelle hauteur le mercure demeurera fufpendu.

On fuppofe que l'experience demontre, 1°, que le mercure demeure fufpendu à la hauteur de 28 pouces, lorfqu'il n'y a point d'air groffier dans le tuyau; par confequent l'air exterieur preffe le mercure qui eft dans le tuyau, & l'empêche de defcendre avec une force égale au poids de 28 pouces de mercure. Il preffe avec la même force tous les corps qu'il environne, & une portion d'air groffier même eft preffée avec la même force par l'air qui l'environne, de maniere que s'il arrivoit qu'elle en fût moins preffée, elle s'étendroit par fon reffort, & occuperoit un plus grand espace.

2. Que lorfqu'une portion d'air eft preffée par deux forces inégales, dont l'une eft par exemple double de l'autre, l'efpace qu'elle occupe étant preffée par la plus grande, eft à celui auquel elle s'étend par fon reffort, étant preffée par la moindre, comme reciproquement cette moindre force eft à la plus grande; dans cet exemple comme 1 à 2. Ces chofes fuppofées, Soit la longueur connue du tuyau —

I

1.

La quantité connue d'air laiffé dans le tuyau=a.

La force entiere avec laquelle l'air exterieur preffe le mercure, qui eft connue & ordinairement égale au poids de 28 pouces de mercure =ƒ.

La hauteur inconnue de la colonne de mercure qui demeurera dans le tuyau où l'on a laiffé l'air a, x.

La quantité inconnue de l'efpace qu'occupera l'air a laiffé dans le tuyau =y.

Les

Les deux quantités x &y des efpaces qu'occuperont le mercure & l'air dans le tuyau, feront égales à la longueur du tuyau 1; ce qui donne cette premiere équation xy=1.

L'air a laiffé dans le tuyau qui occupoit l'efpace a lorfqu'il étoit preffé par la force entiere ƒ de l'air qui l'environnoit, doit s'étendre lorfqu'il n'eft plus preffé que par la force f-x, moindre que f, c'est à dire lorfqu'il eft preffé par la force f de l'air exterieur diminuée par le poids de la colonne de mercure x qui reftera dans le tuyau, car l'air exterieur preffant le mercure x & l'air qui font dans le tuyau avec la force f, le poids du mercure x diminue l'action de la force f fur l'air refté dans le tuyau, qui n'y est plus preffé que par la force f―x.

Or l'efpace y qu'occupera l'air laiffé dans le tuyau aprés s'être étendu, n'étant preffé que par la force f-x, doit être à l'efpace a qu'il occupoit étant preffé par la force entiere f; comme reciproquement la force ƒ eft à la force f―x, ce qui donne cette proportion y. a::f.f· x, d'où l'on déduit la feconde équation fy - xy

af.

Il faut prendre la valeur de x dans la premiere équation x + y = 1, & l'on aura x=

Il faut fubftituer cette valeur de x dans la feconde équation fy-xy=af, & l'on aura fy-ly-yyaf, qu'on écrira de cette maniere yyfy — ly— af.

Pour abreger on fuppofera f-1=-b, lorfque / furpasse f;&f―l=+b, lorfque f furpaffe ; & on mettra-b à la place de f/ dans le premier cas, & l'on aura yy-by=af.

Il faut ajouter à chaque membrebb, & l'on aura yy — by ➡÷/bb==bb➡ af, dont le premier membre eft un quarré parfait, qui a pour sa racine y — b; ainsi en tirant la racine quarrée de chaque membre, l'on aura y — b = √ bb → af, par tranfpofition y = b+√bb + af. En mettant cette valeur de y dans x = x=1-y,l'on aurax-1-b-bb + af, & le Problême est résolu.

&

Suppofant 30 =1,28=ƒ,8=a,& 28.—30——2— —b, l'on trouvera y =16,&x= 14

REMARQU E.

L'ON peut fouvent abreger les résolutions des Problêmes en fe fervant de quelques-uns de leurs rapports, pour dimi

D

nuer le nombre des inconnues, & par confequent celui des équations. Dans l'exemple précedent, au lieu de prendre la feconde inconnue y, on auroit pu raifonner ainfi : La longueur du tuyau moins la hauteur inconnue de la colonne du mercure x, eft precifément la quantité inconnue de l'efpace qu'occupera l'air a laiffé dans le tuyau, ainfi cet efpace eft 1-x; ce qui eft caufe qu'on n'a pas befoin de la premiere équation, & qu'une feule équation fuffit pour la réfolution du Problême.

ANALYSE COMPOSÉE,

O U

ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui fe réduifsent à des équations compolées.

LIVRE II.

Où l'on explique la maniere de réduire les Problemes en équations, & toutes les équations d'un même Problême à une feule qui en contienne toutes les conditions, & quelques preparations generales des équations compofées, pour les refoudre plus facilement comme les manieres d'en ôter les fractions, les incommenfurables, & de trouver leur plus grand divifeur commun.

Où l'on explique la maniere de réduire un Probleme compofé fur les nombres ou de Geometrie en équations, & la maniere de réduire toutes les équations d'un Problême à une feule qui ne contienne qu'une inconnue lorfque le Problême eft déterminé, ou plufieurs lorsqu'il eft indétermine

AVERTISSEMENT.

CE E Traité d'Analyfe eft principalement pour la Geome trie, où les équations compofées font neceffaires pour resou