Ainfi x3 + nxx➡px+q=0, reprefente l'équation particuliere x3 abx abco, en fuppofant, 1°, le fecond terme de la formule nxxo, & 2°, que les fignes devant + px q, reprefentent les fignes qui font devant abx abc.

des

Et dans la formule que donnera la résolution de x3➡nxx +px+q=0, on fuppofera les grandeurs où fera n, égales à zero, & on donnera aux grandeurs où feront p & fignes oppofés; mais on laiffera les fignes devant les puiffances paires de p & de q, & on les changera devant leurs puiffances impaires.

Aprés cela il ne faudra plus que fubftituer dans la formule de la réfolution de x3nxx px+q=+02 =o, les grandeurs de l'équation particuliere, à la place de n, p, p, qui les reprefentent dans la formule generale.

Cette maniere abrege les cas, & rend les réfolutions generales, comme on le verra dans le cinquiéme Livre, où l'on expliquera la réfolution particuliere des équations de chaque degré.

SECTION III.

Où l'on explique la maniere d'ôter les incommenfurables des équations des Problêmes compofés, lorfqu'elles en ont.

AVERTISSEMENT.

LORSQUE l'inconnue de l'équation eft incommensurable, c'eft à dire lorfqu'elle eft fous le figne radical, il eft neceffaire de la rendre commenfurable pour connoître de quel degré eft l'équation; lorfqu'il n'y a d'incommenfurables que les grandeurs connues de l'équation, & que l'inconnue ne l'eft pas, on connoît alors de quel degré eft l'équation, fans ôter les incommenfurables, & l'on pourroit refoudre l'équation fans les ôter; néanmoins comme il eft ordinairement plus facile de refoudre l'équation, lorfqu'il n'y a point d'incommenfurables, les methodes qui fuivent peuvent fervir à les ôter toutes.

19. OTER les incommensurables d'une équation lorsqu'il y en a.

1o.

Premiere maniere.

IL faut mettre une des grandeurs incommenfurables feule dans le premier membre, & toutes les autres quantités dans le fecond, & élever chaque membre à la puiffance marquée par l'expofant du figne radical du premier membre,& la grandeur du premier membre deviendra commenfurable. S'il refte des incommenfurables dans le fecond membre, 2°, il faut en mettre une feule dans le premier membre, & toutes les autres quantités dans le fecond, & faire fur cette équation l'operation précedente, qui ôtera une feconde incommenfurable. En continuant cette operation, on ôtera toutes les incommenfurables. Lorfqu'il y a plufieurs incommenfurables de differens degrés, on mettra une lettre feule pour chaque incommensurable; ce qui abregera le calcul, comme on le verra dans les exemples.

On abregera encore le calcul, en mettant aprés chaque operation une lettre à la place de toutes les grandeurs devenues commenfurables, & dans la derniere operation on reftituera les valeurs des lettres qu'on a mifes pour débarraffer le calcul. EXEMPLES.

I.

Pou ➡bb,

R ôter les incommenfurables devxx=√ ax + bb, on élevera chaque membre au quarré, & l'on aura xx-ax➡bb, où il n'y a plus d'incommenfurables.

II.

Pour ôter les incommenfurables de xaax = b on fera, 1°, √ a ax aax=b-x. 2°. On élevera chaque membre à la troifiéme puiffance, parceque l'expofant de ✔ eft 3, & l'on aura aax = 63. -3bbx 3bxx x3, où il n'y a plus d'incommenfurables.

III.

3/

Pour ôter les incommenfurables de aaxa3x3 — x — c', 1o, il faut élever chaque membre à la troifiéme puissance, & l'on aura aax √ a3 x3 = x3 —

3cxx 3ccx — c3.
+

2o. Aprés avoir mis √ a3x3 feule dans le premier membre, √ a3 x3 = x3 C3 3cxx + 3ccx c3 aax, il fant élever

chaque membre au quarré, & l'on aura a3x3 — x &c. où il n'y a plus d'incommensurables.

IV.

Pour ôter les incommenfurables de xaax vax, on supposera naax, ce qui donne n3= aax, n3=aax, & m=v ax, ce qui donne mm=ax, & l'on aura xn=m, au lieu de x +Vaax=Vax.

+

Enfuite on fera par tranfpofition n=m-x, & on élevera chaque membre à la troifiéme puiffance marquée par l'expo. fant du figne radical de Vaax=n, & l'on aura n3 = m3 — 3mmx→ 3mxx-x3, & par transposition n3 3mmx ➡x3 =m3 3mxx, où n3+ 3mmx, &+x3 font commenfurables. Pour debaraffer le calcul, on fuppofera les grandeurs commenfurables n3 3mmx➡x3=ƒ3, afin de n'avoir attention qu'aux feules incommenfurables m3 3mxx, & l'on aura m3 3mxx=f3. On élevera chaque membre au quarré, parceque l'expofant de l'incommenfurable max eft 2, & l'on aura m + 6m+xx + 9mmx+=f", où il n'y a plus d'incommenfurables. Enfin on substituera à la place de ƒ, m, n, leurs valeurs, & l'on aura a1xx-6a3x3 +9aax+ + 2aax+ 6ax3 ➡ x° = a3x3 + 6aax+ + 9ax3; & en l'abregeant on aura x —3ax3+5aax*+5a3x3+a+xx =0,ou bien x+3ax3-5aaxx ➡5a3x➡a1=o, où il n'y a plus d'incommenfurables.

I.

Seconde maniere, lorsque l'équation contient plufieurs.
incommenfurables.

IL faut fuppofer une lettre égale à chaque grandeur in

commenfurable, ce qui donnera autant d'équations qu'il y a d'incommenfurables. Il faut en ôter les incommenfurables par la premiere maniere, & l'on aura de nouvelles équations où les puiffances des lettres fuppofées feront égales à des grandeurs commenfurables; on les appellera les équations commenfurables.

2o. Il faut mettre les mêmes lettres dans l'équation propofée;& aprés avoir mis dans le premier membre la feule lettre, qu'on a fuppofée égale à l'incommenfurable, dont l'expofant eft le plus grand, on élevera chaque membre de cette équation à la puiffance de cet expofant.

41

Enfin on fubftituera les valeurs commenfurables des lettres fuppofées à leur place dans l'équation précedente, & ces valeurs feront prises dans les équations commenfurables; & en continuant les substitutions, on arrivera enfin à une équation où les lettres fuppofées ne feront plus, & qui n'aura plus d'incommenfurables.

Par exemple, pour ôter les incommensurables de x➡3/aax =√ax: 1°., je fuppofe n= =aax,&m=ax; & ôtant les incommenfurables, je trouve n3 adx, & mm ax, les équations commensurables.

ce font

2o. Je mets n & m dans l'équation propofée xaax=Vax, à la place des incommenfurables, & je trouve x-n=m. Je fais par tranfpofition = mx, » & j'éleve chaque membre à la troifiéme puiffance, parceque l'expofant de Vaax=n, qui eft le plus grand, eft 3, & je trouve n3 = m3 3mmx → 3mxx - x3.

3°. Je fubftitue dans cette équation les valeurs commenfurables de n3 & de mm, prifes dans les équations commenfurables, & je trouve aax=m3 — 3axx➡ 3mxx —— x3 .

amxi

Pour fubftituer la valeur de m3 dans cette équation, je multiplie chaque membre de mmax par m,& j'ai m3 & je fubftitue amx à la place de m3 dans aax=m3 ➡ 3mxx Захх 3axx-x3, & je trouve aaxamx➡ 3mxx — 3axx. ou bien aaam+3mx — 3 ax -xx; je mets par transposi tion les quantités où eft m dans le premier membre, & les autres dans le fecond, & j'ai am+3mx=3ax✈aa+xx; divifant le tout par a3x, je trouve m= 3 axaa + xx

a+3x

Pour fubftituer la valeur commenfurable de m dans cette équation, j'éleve chaque membre à la la feconde puiffance, parceque l'expofant de ax = m est 2 & je trouve mm

44 6 an+9xx

Je fubftitue dans cette équation la valeur de mm prise dans l'équation mm = ax, & je trouve

ax

944xx+6a3x a4 + 6ax3 +24axx +a&

En réduifant chaque membre au même dénominateur que j'efface enfuite, & en abregeant & ordonnant l'équation, je trouve x4 3ax3 +5aaxx + 5a3 x ➡ a+ =0, où il n'y a plus d'incommenfurables. Ce qui étoit propofé.

F

DEMONSTRATIO N.

I eft évident que par les operations de ces deux methodes du Problême, on ôte les incommenfurables les unes aprés les autres, & & que l'égalité fe conserve toujours.

SECTION IV.

Où l'on explique la maniere de trouver le plus grand divifeur commun de deux ou de plufieurs équations composées qui ont la même inconnue.

AVERTISSEMENT.

IL eft tres utile pour la réfolution des équations compofées, de pouvoir trouver le plus grand diviseur commun de celles qui ont la même inconnue; & cela fert auffi quand on a plus de rapports d'un Problême que d'inconnues, à former l'équation la plus fimple qui en donne la résolution.

PROBLEME IV.

20. TROUVER le plus grand diviseur commun des deux équations qui ont la même inconnue.

1o. I toutes les quantités de chaque équation étoient

Smultipliées par une grandeur commune, on les divi

feroit toutes par cette grandeur commune ; & il faudroit enfuite chercher le pius grand divifeur commun des deux quotiens; & aprés l'avoir trouvé, le multiplier par cette grandeur commune, & le produit feroit le plus grand divifeur commun qu'on cherchoit.

2°. Si toutes les quantités d'une feule des deux équations, & furtout de celle qui fervira de divifeur, étoient multipliées par une même grandeur, il faudroit les divifer par cette grandeur, qui ne doit point entrer dans le commun divifeur, & operer enfuite avec le quotient. Ces choses supposées .

Premiere maniere.

APRE's avoir nommé la premiere équation celle du degré plus évé, & l'autre la feconde, (fi elles font du même degré,