aa, x-av-aa=0, où la valeur de x est a —v. puifque x=4-vaa. Cette racine avaa, s'appel le mixte imaginaire Remarque fur les grandeurs imaginaires . 23. LA racine, dont l'expofant est un nombre pair, d'une grandeur négative, eft toujours une grandeur imaginaire; ainfi ·aa, ✅, — a*, ♡ —a, &c. font des grandeurs imagi naires : car une grandeur a, foit qu'elle ait le figne-, ou le figne, étant multipliée par elle-même autant de fois qu'on voudra, pourvû que ce nombre de fois foit pair, le produit aura toujours le figne; par confequent une puiffance négative dont l'expofant eft pair, comme — aa, — -a, &c.. eft une grandeur dont la racine eft impoffible ou imaginaire, puifque fi cette racine étoit poffible, fa puiffance auroit tou jours le figne, & elle ne fçauroit avoir le figne Mais fi l'expofant du figne radical ✔ d'une grandeur négative eft impair, la racine eft une grandeur réelle; ainfi √ — å3‚ √ — å3‚ √—a, &c. font des grandeurs réelles, parceque la racine négative. -a, étant multipliée par elle-même un nombre de fois qui foit impair, la puiffance qui en fera le produit, fera négative; cara x — a = aa, &➡ aa X. a: a3, & ainfi des autres. THEORÊME I. 24. TOUTE équation composée peut être conçue comme étant formée par la multiplication d'autant d'équations fimples, que l'équation compofée a de degrés. me formée Ainfi toute équation de deux degrés, peut être conçue compar la multiplication de deux équations fimples. Toute équation du troifiéme degré, peut être conçue formée par multiplication de trois équations fimples; & ainfi des autres. Demonftration pour les équations du fecond degré. Τουτ OUTES les équations Premiere, xxnx➡p Seconde Xxnx du fecond degré peuvent Troifiéme, xxnx être exprimées par ces fix formules. Quatrième, xx nx — Or toutes ces équations Sixième, p P peuvent être conçues formées par la multiplication de deux équations fimples. •. Car, 1°, fi l'on multiplie les deux équations fimples x =0,&x+b=o, leur produit xx➡ax+ab ++ bx, donnera la 1re formule, en fuppofant a+b=n, & ab=p: 2°. Si l'on multiplie les deux équations fimples xaα, &x-bo, leur produit xxax →→ -bx, abo. donnera la feconde formule, en fuppofant, 1°, a plus grand que b, & 2°, ab=n, &— ab ab= -P. 3o. Si on multiplie xao, par x-bo, leur proaxabo. donnera la troifiéme formule, en duit xx fuppofant -bxa ·b — — n, & + ab = +p. 4°. Si on multiplie x-a-o, par x-bo, leur produit xxax―abo. donnera la quatriéme formule, en fup➡bx, pofant, 1o., a plus grand que b,& 2°,—a → b →→n, & — ab ·P. 5°. Si on multiplie xao, par xao, leur produit xx-aa―o, donnera la cinquiéme formule, en fuppofant -aa=p. =0, 6°. Enfin fi on multiplie xaa=0, par x-aa leur produit xxaao, donnera la fixiéme formule, en fuppofant aap; par confequent toutes les équaconçues formées par le pro tions du fecond degré peuvent être duit de deux équations fimples. Démonftration pour les équations du troisième degré. TOUTES OUTES les équations Premiere, x3 - nxx 203 nox * du 3° degré peuvent être Seconde, x3 rapportées à ces quatre Troifiéme, x3 → nxx formules pour abreger. Quatrième, x3 +px ±q: =0. *q=0. * *+9=0. Or toutes les équations reprefentées par ces quatre formules, peuvent être conçues formées par la multiplication de trois équations fimples. Car, 1°,fi l'on multiplie les trois équations fimples xao, x±b—Q,x±c=o,leur produit3± axx + abx abc=0, ++ bxx acx donnera la premiere formule en fuppofant a + b + ε abac + bc = ± p, abc = ±9. +n, 2o. Si l'on fuppofe que la racine de l'une des trois équations fimples, par exemple e dans la troifiéme xco, elt éga le à la fomme des deux autres a + b, & qu'elle a un figne oppofé au leur, c'est à dire que c eft négative, fi a & b font pofitives; & que c eft pofitive, fi a & b font négatives, on aura la feconde formule, en fuppofant les grandeurs connues du troifiéme terme du produit des trois équations fimples, égales à p, & la grandeur connue du quatriéme terme du produit des trois équations fimples, égale à ✈ q; & à caufe de a ·e = a + b, ou de c = b, le fecond terme fera détruit par des fignes contraires. 3°. Si l'on suppose la même racine c avec un figne contraire à ceux des deux autres a & b, mais qu'elle leur foit iné gale, on aura la troifiéme formule, en fuppofant les produits ac, be, avec des fignes contraires à celui de ab, égaux enfemble à ab, & en fuppofant toujours les coëficients du deuxième & quatriéme terme du produit des trois équations fimples, égaux à ceux du deuxième, & quatriéme terme de la troifiéme formule. 4. Si on multiplie les trois équations fimples x + 1 a leur produit 3 a = 0, donnera la quatriéme formule x3 - Et fi on multiplie les trois équations fimples a - aa=0,x+a=0, leur produit3a3o, donnera la quatriéme formule x3 ➡q=, en fuppofant a3 = q. Par confequent toutes les équations du troifiême degré peuvent être conçues comme formées par trois équations fimples. N REMARQUE. 25. On peut auffi concevoir toutes les équations du troifiéme degré comme formées par la multiplication d'une équation du fecond degré, & d'une équation fimple. Car, 1°,fi on multiplie xxlx+m=o, parx + c = 0, le produit xlxx+mxcm=0, donnera la premiere ➡cxx++ clx, formule,en fuppofantc=+n,+m+cl = + P, +cm=+9. 2o. Si on multiplie xxlxmo,par xo, le produit x3 ➡ mx ➡ Im o, donnera la feconde formule en fuppofantm — =+p, & = Im 3o. Si on multiplie xxlxlmo, par x+m=o,le produit xlxx Immo,donnera la troifiéme formule, mxx, + en supposant + 1+m=±n, & & Imm =9. Demonftration pour les équations des autres degrés. N ou que les équations des autres degrés peuvent être conçues formées par les équations du premier, du fecond & du troifiéme degré; par exemple, celles du quatriéme par une équation du premier, & une du troifiéme par deux équations, chacune du fecond degré; celles du cinquiéme par une équation du fecond degré, & une du troifiéme, & ainfi des autres: Par confequent toute équation compofée peut être conçue formée par autant d'équations fimples qu'elle a de degrés. REMARQUE. LORSQUE le Problême renferme quelque contradiction, l'équation compofée qui l'exprime, peut toujours être concue comme formée par autant d'équations fimples qu'elle a de degrés; mais les racines de ces équations fimples ne feront pas toutes réelles, & il y en aura d'imaginaires. On en a déja vâ des exemples dans la quatriéme formule du troifiéme degré, & dans la fixiéme du fecond degré. COROLLAIRE. 26. UNE équation compofée, dont on n'a point abregé les grandeurs connues, en fuppofant plufieurs de ces grandeurs égales à une feule lettre, peut toujours être divifée exactement par chacune des équations de moindre degré qu'elle n'eft, par la multiplication defquelles elle a été formée : & lorfqu'une équation d'un moindre degré, est un diviseur exact d'une équation compofée d'un degré plus élevé, cette équa tion d'un moindre degré eft une de celles dont la compofée a été formée par la multiplication. DEMONSTRATION. It eft évident que lorsqu'un produit a eté formé par la multiplication de plufieurs grandeurs, chacune de ces grandeurs en eft un divifeur exact: & lorfqu'une grandeur est un divifeur exact d'un produit, cette grandeur eft une de celles dont la multiplication a formé ce produit; ainfi le Corollaire est évident. THEOREME II. 27. QUAND la plus haute puiffance de l'inconnue eft multipliée dans le premier terme d'une équation compofée, par une grandeur connue differente de l'unité, on peut bien concevoir cette équation comme formée par le produit d'autant d'équations fimples, qu'elle a de degrés; mais, 1°, ou bien l'inconnue du premier terme eft multipliée par une grandeur connue dans chacune des équations fimples; 2°, ou bien elle l'eft dans quelques-unes, & non dans toutes; 3°, ou bien el le l'eft dans une feule. CAR en bx abc x3 DEMONSTRATION. R en fuppofant, 1°, ces équations fimples ax d= · e = o, cx — f = 0, & les multipliant les unes par les autres l'on aura pour le premier cas l'équation composée &c. 2°. En fuppofant x d=0, bx d=o, & les multipliant les unes par les autres, on aura pour le fecond cas l'équation composée bcx3 —&c. 3°. En fuppofant x-do, x— e = o, cx — d=o, & les multipliant les unes par les autres, on aura l'équation compofée cx3-&c. On peut auffi concevoir une équation compofée, dont le premier terme a un coëficient different de l'unité, comme le produit d'autant d'équations fimples qu'elle a de degrés, dont toutes les racines font des fractions, ou feulement quelquesunes, ou du moins une feule. Caren fuppofant, 1°, x—2=0,x bien, 2°, x-d=0,x-f =0, =o; ou bien, 3°, x-d o; aprés avoir fait la multipli cation dans chacun de ces trois cas, & ensuite ôté les frac |