tions, on aura une équation compofée, dont le premier terme aura un coëficient different de l'unité.

COROLLAIRE.

28. Si le premier terme d'une équation compofée a un coëficient different de l'unité, les équations d'un moindre degré qu'elle n'eft, par lesquelles elle peut être exactement divifée, auront toutes, ou plufieurs, ou du moins quelqu'une, dans leur premier terme, un coëficient different de l'unité; ou bien elles auront tontes, ou plufieurs, ou du moins quelqu'une, des fractions pour leurs racines.

29.

Du nombre & de la qualité des racines des équations

ES racines des équations fimples dont une équation compofée est le produit, s'appellent auffi les racines de l'équation compofée.

Corollaires qu'il faut fe rendre familiers.
D'où il fuit, 1°, qu'une équation compofée a autant de ra-

cines, qu'elle a de degrés.

2°. Que les racines d'une équation compofée peuvent étre ou toutes réelles, & il y en peut avoir de trois fortes, ou elles feront commenfurables, ou incommenfurables, ou mixtes; ou bien elles feront toutes imaginaires, ou mixtes imaginaires ; ou enfin elles feront en partie réelles, & en partie imaginaires.

3°. Que chaque racine étant exprimée par une feule lettre dans chacune des équations fimples, elles peuvent étre ou pofitives, ou négatives, ou en partie pofitives, & en partie négatives. 4°. Que l'on peut, felon les combinaifons differentes des fignes +&. des racines pofitives & négatives, rapporter toutes les équations de chaque degré à un nombre déterminé de formules.

Dans le fecond degré, il n'y en peut avoir que de trois fortes; car ou, 1°, les deux racines feront pofitives; ou, 2°, négatives; ou, 3°, l'une positive, & l'autre négative.

Dans le troifiéme degré, il n'y en peut avoir que de quatre fortes; car ou bien, 1°, les trois racines feront pofitives; ou, 2o, négatives; ou, 3°, deux pofitives, & une négative; ou, 4o, deux négatives, & une pofitive.

En general, dans chaque degré il peut y avoir autant de formules, & une de plus, qu'il y a de racines dans les équations de ce degré; fçavoir cinq formules dans le quatriéme degré, fix formules dans le cinquième, fept formules dans le sixiéme, &c.

En voici la démonstration pour le fixiéme degré, qui fervira pour tous le autres.

RACINES. 1", 2°, 3°, 4o, 5o, 6o.

Il faut voir dans la Table toutes les formules differentes de chaque degré, jufqu'au quatrième degré. Il faut les former foi-même, &fe les rendre familieres, pour bien concevoir ce qui fuit, & on peut continuer la Table tant qu'on voudra.

5. Le coëficient du fecond terme d'une équation compo fée, contient la fomme de toutes les racines, fans être multipliées les unes par les autres.

Le coëficient du troifiéme terme contient les produits de toutes les racines, multipliées deux à deux autant de fois qu'elles le peuvent être, pour faire des produits differents.

Le coëficient du quatrième terme contient les produits de toutes les racines, multipliées trois à trois autant de fois qu'elles le peuvent être, pour faire des produits differents.

Le coëficient du cinquiéme terme contient tous les produits des racines, multipliées quatre à quatre; & ainfi de fuite jufqu'au dernier terme tout connu, qui contient toujours le feul produit de toutes les racines.

Cela eft évident par la formation des formules de la Table. 6o. Dans les termes pairs, fçavoir le fecond, le quatriéme, le fixiéme, &c. les racines font une à une dans le fecond & multipliées en nombre impair dans les autres, fçavoir,

trois à trois dans le quatriéme terme, cinq à cinq dans le fixiéme, &c.

Dans les termes impairs, c'est à dire dans le troifiéme, le cinquième, &c. les racines font multipliées les unes par les autres en nombre pair; fçavoir, deux à deux dans le troifiéme, quatre à quatre dans le cinquième, &c.

7°. Si toutes les racines font négatives, tous les termes de l'équation compofée font pofitifs, c'est à dire, ils ont tous le figne; car tous les termes des équations fimples ayant le figne, tous les produits qui en font formés ne peuvent avoir que le figne.

8°. Si toutes les racines font pofitives, tous les termes ont alternativement + &, car le premier terme a toujours par la fuppofition; le fecond terme ne contient que la fomme des racines qui ont toutes le figne dans les équations fimples; ainsi le fecond terme a le figne -: pour les autres termes, tous les pairs ayant pour leur coëficient les produits des racines en nombre impair, ils ont neceffairement le figne ; & tous les impairs ayant pour leur coëficient les produits des racines en nombre pair, ils ont neceffairement le figne; par confequent les fignes & - fe fuivent alternativement, lorfque toutes les racines font pofitives; ainfi, quand dans une équation compofée les fignes font alternati vement & toutes les racines font pofitives.

"

-

9°. D'où il fuit que fi tous les termes n'ont fi tous les termes n'ont pas le figne, & files & -ne fe fuivent pas alternativement, il y a neceffairement des racines pofitives & des racines negatives dans l'équation.

Ces Corollaires étant démontrés, il y a contradiction dans le Problême, c'eft a dire il y a des racines imaginaires dans l'équation du Problême, quand ils ne fe trouvent pas veritables; ce qu'on doit auffi entendre des Corollaires fuivans.

10°. Lorfqu'il manque quelque terme dans l'équation, il eft neceffaire qu'il y ait des racines pofitives & négatives, puifqu'un terme ne peut être détruit que par les fignes contraires & des produits dont ce terme eft compofé: & ces produits ne peuvent avoir des lignes contraires, qu'il n'y ait des racines pofitives & négatives. Ainfi l'on a ces deux marques pour connoître qu'il y a dans une équation des racines pofitives & des négatives; 1°. Lorfque la fuite alter

native des& des

eft interrompue dans les termes d'une équation où tous les termes, ne font pas pofitifs; 2: Lorsqu'il manque quelque terme dans une équation..

11°. Le fecond terme d'une équation contenant la fomme des racines; fi la fomme des pofitives eft égale à celle des né gatives, il fera détruit par des fignes contraires.

Si la fomme des pofitives furpaffe celle des négatives, le fecond terme aura; & il aura fi la fomme des négatives furpaffe celle des pofitives..

Ainfi quand le fecond terme manque dans une équation, on eft affuré que les racines pofitives font égales à la fomme des négatives.

12°. Si le second terme manque dans une équation du troifiéme & du quatrième degré, le troifiéme terme a toujours le figne

Demonftration pour le troisième degré.

x-a=0×x − b = o. ×x+c=0.

Le fecond terme étant détruit, il faut qu'il y ait dans l'équation deux raci-x3 nes pofitives, & une négative, & que la négative foit égale aux deux pofitives; ou qu'il y ait deux ra

xao.xx+b=0.xx-co.

cines négatives, & une po3axx ✈ abx abc=0.

fitive qui foit égale aux deux négatives, ainfi les é

quations du troifiéme de

-+ bxx - ack

CXX bcx.

gré où manque le fecond terme, font exprimées par ces deux formules, où c=a+b.

Donc dans le troifiéme terme, le produit-ac furpaffe le produit-abs par confequent le troifiéme terme a le figne →→→ Démonftration pour le quatrieme degré.

-Les équations du qua triéme degré où le fecond terme eft détruit, ayant des racines pofitives & négatives; & les pofitives étant égales aux négatives, elles font toutes exprimées par ces trois, formules..