tion, & en la substituant, on lui donne le figne: C'est le contraire quand elle est négative. Ainfi quand on substitue une racine à la place de l'inconnue, on lui donne un fignet oppofé à celui qu'elle a dans l'équation.

Il faut auffi remarquer que le multipliant le ou le. ne change rien dans le figne de la grandeur multipliée: au contraire le change toujours le figne de la grandeur par laquelle on le multiplie; car par donne & -par

a, ont des

Il fuit de là qu'en faisant la substitution dea, au lieu de ➡x, tous les produits ne changent point de figne; mais ceux qui dans l'équation font multipliés par la racine fignes contraires à ceux qu'ils auroient fans cela: Par confequent aprés la fubftitution, le produit at du premier terme, & celui du fecond, qui lui est égal, fçavoir fignes oppofés.

a*, ont des

Par la même raison, les produits qui restent dans le second terme - ba3 — ca3-da3, & ceux du troifiéme terme qui leur font égaux, fçavoir ba3, ca3, da3, ont des fignes contraires. Car les premiers font faits de a3 par les racines b,c,d, differentes de a; & ceux du troifiéme terme qui leur font égaux, font formés par les produits des mêmes racines-b, b,c,d, -d, multipliées para, & enfuite par a3: or change leur figne en les multipliant.

Il est évident que le même raifonnement s'étend à tous les autres produits égaux dans deux termes qui fe fuivent.

Par confequent tous les produits de tous les termes d'une équation, font détruits par la fubftitution d'une des racines; car ce que l'on a dit de la premiere, convient évidemment à chacune des autres.

COROLLAIRES:

32. 1°. L'NCONNUE d'une équation compofée represente également chacune des racines de l'équation; car en fubftituant fucceffivement chacune des racines à la place de l'inconnue, tous les produits fe détruiront toujours.

C'est la raison pourquoi on forme les équations par la multiplication des équations fimples, dont le fecond membre eft zero, & non pas par la multiplication des équations fimples, dont le premier membre auroit l'inconnue, & le fecond

K

33.

membre fa racine; car en les formant de cette feconde manie l'inconnue ne representeroit pas dans l'équation chacune des racines, comme elle les reprefente en formant l'équation de la premiere maniere.

re,

2o. Chaque racine eft la valeur de l'inconnue dans une équation compofée, aussi-bien que dans les équations fimples.

3°. Les valeurs de l'inconnue dans une équation compofée & les racines de l'équation composée étant la même chose l'inconnue d'une équation compofée a autant de valeurs que l'équation a de degrés. Ainfi dans une équation du fecond degré, l'inconnue à deux valeurs: elle en a trois dans une équa. tion du troifiéme degré; & ainfi des autres.

4°. L'on a deux moyens pour reconnoître quand une gran deur eft la valeur de l'inconnue, ou une racine de l'équation; Le premier lorfqu'en divifant l'équation compofée par une équation fimple, qui a la même inconnue lineaire moins cette grandeur, quand elle eft une valeur pofitive, & plus cette grandeur, quand elle est une valeur négative la divihion eft exacte, c'est à dire fans reste. Le fecond, lorfqu'en fubftituant cette grandeur, à la place de l'inconnue, dans l'équation, avec le figne lorfqu'elle eft pofitive, avec le figne-lorfqu'elle eft négative, tous les produits de l'équation fe détruisent par des fignes contraires, c'est à dire font égaux à zero.

THEOREME V.

34. LORSQUE dans une équation compofée le premier terme n'a pas d'autre ccëficient que l'unité, & qu'il n'y a ni frac tions, ni incommenfurables, aucune des racines réelles de l'équation n'est une fraction.

DEMONSTRATION.

Si quelqu'une des racines réelles étoit une fraction, quelqu'une des équations fimples par la multiplication defquel les l'équation compofée eft formée, auroit pour fa racine une fraction. Or s'il y en avoit quelqu'une, l'équation com. pofée en auroit auffi; & pour l'ôter, il auroit falu multiplier tous les termes de l'quation par le dénominateur de cette fraction, ce qui auroit donné neceffairement un coëficent au premier terme, different de l'unité, contre la fupposition.

Démonftration particuliere pour les équations numeriques.

que

Si
une fraction pouvoit être la racine d'une équation nume-
rique, dont le premier terme n'a pas d'autre coëficient
l'unité, & où il n'y a ni fractions, ni incommenfurables, il
eft certain par le quatriéme Theorême, que cette fraction &
fes puiffances étant fubftituées à la place de l'inconnue & de
fes puiffances, tous les termes de l'équation se détruiroient
aprés la fubftitution.

Pour rendre la démonftration plus claire & plus generale, on fuppofera une équation du troifiéme degré x3 ・nxx + px q=o, où les coeficients n, p, q, reprefentent des nombres; & on fuppofera que la fraction à fubftituer eft reprefentée par t, qui étant réduite aux moindres termes, est z Qu'on fubftitue la fraction à la place de l'inconnue, on auqo, & par tranfpofition

a363

6383

dacc

9

Réduifant les fractions à l'expofant, l'on auran

Multipliant chaque membre par bb
bbq.

- abp

Il eft certain que le fecond membre de cette égalité est un nombre entier; ainsi la fraction & est égale à un nombre entier.

b

Mais par ce qui eft démontré dans les proportions, la fraEtion étant fuppofée dans les moindres termes, le numerateur a de la fraction, n'a aucun divifeur commun avec le dénominateur b; ainsi la fraction eft dans les moindres termes, & ne fçauroit être égale à un nombre entier.

Par confequent en fuppofant qu'une fraction peut être la racine d'une équation, dont le premier terme n'a que l'unité pour coëficient, & qui n'a ni fractions, ni incommenfurables, cela conduit à cette abfurdité, qu'une fraction réduite aux moindres termes, peut être égale à un nombre entier: Il ne fe peut donc faire, qu'une fraction foit la racine d'une telle équation.

COROLLAIRE.

pas

35. LORSQU'UNE équation compofée n'a ni fractions, ni

incommenfurables, que fon premier terme n'a que l'unité

pour coëficient, & que fes racines font réelles; fi des grandeurs entieres ne font pas fes racines, fes racines font incommenfurables.

Car fes racines réelles ne peuvent être que des grandeurs entieres, ou des fractions, ou des incommenfurables; on fuppose qu'il n'y a pas de grandeurs entieres qui foient les racines de l'équations on vient de démontrer qu'elles ne peuvent être des frac tions; par confequent il faut qu'elles foient incommenfurables. REMARQUE.

Au lieu de fuppofer dans les équations lineaires, dont une équation compofée eft le produit, l'inconnue x pofitive; fi on la fuppofe negative x, comme dans cet exemple =0, — x ➡ b = ∞, l'on aura une équation compofée xx ax ab = dans laquelle les racines qui etoient

bx,

- x.

a

a = 0,

pofitives dans la fuppofition dex, feront négatives, & les négatives feront pofitives. Car puifque fon aura x-a; puifque

xbo, l'on aura x—b.

COROLLAIRE.

D'où il fuit qu'en changeant dans une équation composée

tous les fignes des termes, où la puiffance de l'inconnue eft impaire, comme x, x3, xs, &c. fans toucher aux autres, toutes les racines pofitives feront changées en négatives, & les négatives en positives.

Q

SECTION

III.

De la transformation des équations composées.

DEFINITION.

UAND on change une équation en une autre du méme degré, qui a une inconnue differente de l'inconnue de la premiere, & dont toutes les racines ont un rapport connu avec Îes racines de la premiere, ce changement s'appelle transforma tion; & la feconde équation s'appelle la transformée de la pre

miere.

Il est évident que les racines de la transformée étant con nues, elles feront connoître les racines de l'équation dont elle eft la transformée.

36. TRANS

PROBLEME L

Qui contient toutes les transformations:

RANSFORMER une équation proposée; par exemple, ×3—nxx➡px—qo, ou fon équivalente 3. axxabx

abc0.

-bxx acx

-cxx ➡bcx,

es

en une autre équation dont les racines foient, 1°, celles de la propofée, augmentées chacune d'une grandeur connue, telle qu'on voudra, comme f; 2°, ou bien diminuées chacune d'une grandeur connue f; 3°, ou bien retranchées elles-mêmes chacune d'une grandeur connue f; 4°, ou bien multipliées chacune par une grandeur connue f; 5°, ou bien divifées chacune par une grandeur connue f; 6°, ou bien de maniere que les valeurs de l'inconnue de la transformée foient les racines 2es, 3e &c. ou les puiffances 2", 3", &c. des racines de la propofée; 7°,ou bien de maniere que les valeurs de l'inconnue de la transformée foient moyennes proportionnelles entre une grandeur connue f, & les racines de la propofée; 8°, ou bien de maniere que les racines de la propofée foient les quatrièmes proportionnelles aux racines de la transformée, à une grandeur connue, & à l'unité, ou bien à une feconde grandeur connue; 9°, ou bien de maniere que les racines de la propofée foient égales aux racines de la transformée, plus ou moins une grandeur connue, divifée ou multipliée par les racines de la transformée, ou par quelque multiple de ces racines; 10°., ou bien enfin de maniere que les racines de la transformée ayent avec celles de la propofée tel rapport qu'on voudra, comme celui de fàg.

J. L

METHODE.

1.Il faut prendre une feconde inconnuey, qui represente chaque racine de la transformée, & fe fervir de l'inconnue x, de la propofée, pour en marquer chaque racine, & faire une équation qui exprime le rapport qui doit être entre les racines de la propofée & celles de la transformée.

2o. Il faut prendre dans cette équation la valeur de l'inconnue x de la propofée, & fubftituer cette valeur & fes puiffances à la place de l'inconnue x & de fes puiffances dans la propofée.

K iij