L'équation qu'on trouvera étant ordonnée & abregée, fera la transformée qu'on cherche. 1. Pour augmenter les racines de la proposée de la grandeur f. ON N fuppofera l'inconnue y pour exprimer les racines de la transformée; & fe fervant de l'inconnue x de la proposée, on fera l'équation xf=y, qui exprime que la racine x de la propofée étant augmentée de la grandeur connue f, eft égale à la racine y de la transformée. On prendra dans cette équation la valeur de x, qui est x=y—f. સ On fubftituera cette valeur & fes puiffances à la place de x & de fes puiffances dans la propofée x3-nxx-px-q=0.. 203: =y3—3 fyy→3ffy -ƒ3 -nyy 2nfynff -pf & l'on trouvera l'équation transformée, dont les racines fontcelles de la propofée, augmentées chacune de la grandeur f. Quand on aura la valeur de y dans la transformée, on la substituera dans xy-f, à la place de y, & l'on aura la valeur de x de la propofée. IL Pour diminuer les racines de la propofée de la grandeur f ON N fuppofera x- -f=1, d'où l'on déduira x=yf; on fubftituera y fà la place de x, & les puiffances de y ✈ƒà. la place des puiffances de x, dans la propofée - nyy — 2ƒny — nff & l'on trouvera la transformée, dont les racines font celles de la propofée, diminuées chacune de la grandeur f. III. Pour trouver la transformée, dont les racines y foient celles de la propofée, retranchées de la grandeur f. ON fuppofera f-x=y; d'où l'on déduira ƒ—y=x; on fubftituera f-y & fes puiffances, à la place de x & des puiffances de x, dans la propofée x3 =ƒ3 — —y3 nxx +px -9 3ffy ➡ 3f11 — y3, nff2nfy — nyy =pf py q. →pf -py 9. & l'on trouvera la transformée, dont les racines font celles de la propofée, rétranchées chacune de la grandeur f. IV. Pour trouver la transformée, dont les racines y foient celles de la propofée, multipliées par la grandeur f. ON supposera fx=y, d'où l'on déduira x— nyy PY =/; on fubftituera & fes puiffances à la place de x & de fes puiffances, dans la propofée; & l'on trouvera - "77 +17—9=0. Otant les fractions, on aura la transformée y3-nfyy➡ +pffy -f3q=o, dont les racines font celles de la propofée, multipliées par f. f Abregé de la transformation précedente. POUR multiplier les racines d'une équation par une gran deur f, il faut fimplement changer l'inconnue x en une nouvelle inconnue y; & fans toucher au premier terme, multiplier le fecond par la grandeur f, le troifiéme par ff, le triéme par f3; & ainfi de fuite. qua V. Pour trouver la transformée, dont les racines y foient celles de la propofée, divifées par la grandeur f. ON supposera *=y, d'où l'on déduira » — fy; on fubftituera fy & les puiffances à la place de x & de ses puiffances dans la propofée; & l'on trouvera f3y3—nffyy→pfy—q=0; divisant l'équation par ƒ3, on aura la transformée y3 —”?” +3=0, dont les racines font celles de la proposée divifées par f. ff Abrege. POUR divifer les racines d'une équation par une grandeur f, il faut fimplement changer l'inconnue x en y; & fans toucher au premier terme, diviler le fecond par ƒ, le troifiéme le quatrième par f3; & ainfi de fuite. par ff, VI. Pour trouver une transformée, dans laquelle les valeurs de y foient les racines fecondes,troifiémes,&c des racines de la proposée. ON fuppofera x=y, ou bien √x=y, &c. d'où l'on déduira x=yy, ou bien x=y3, &c. on fubftituera yy, ou y3 & les puiffances de yy ou de y3, à la place de x & de fes puiflances, dans la proposée; & l'on trouvera la transformée y — nyk ➡pyy — q=0; ou bien y — ny➡py3 —q=0; les valeurs de y dans la premiere, font les racines quarrées des racines de la propofée; les valeurs de y dans la feconde, font les racines troifiémes des racines de la propofée. - Si la propofée étoit x°—nx++pxx-q=o, ou bien ≈o · nx2 ➡ px3 —q=0, en fuppofant pour la premiere xxy, & pour la feconde x3=y, l'on trouveroit la transformée y3 — nyy➡py —q=o, dont les racines feroient les quarrés des valeurs de x dans la premiere propofée, & les cubes des valeurs de x dans la feconde. VII. Pour trouver une transformée dans laquelle les valeurs de l'inconnue y foient moyennes proportionnelles entre une f grandeur connue f, & les racines de la propofée . ON fuppofera y=vfx, d'où l'on déduira yy=fx, & x =;on fubftituera cette valeur de x & ses puissances à la place de x & de fes puiffances dans la propofée ; & l'on trouvera la transformée ynfy-pffyy — qƒ3 : dans laquelle les valeurs de y font moyennes proportionnelles entre ƒ & les racines de la proposée x3 · nxx✈✈px — q=0. VIII. Pour trouver une transformée de maniere que y . f :: 1. X. ON supposera x=£; & =; & par fubftitution on trouvera la transformée ƒ3 — nƒƒy → pfyy — qy3 = o, & par transposi tion qy3 - pfyy nffy · pfyy → nffy - ƒ3 = 0; & divisant le tout par q, =o, sera la transformée qu'on cherche. IX. Pour trouver la transformée de x3 pxx-q=o, qui foit telle que les racines x de la propofée foient égales à celles de la transformée plus ou moins une grandeur connue divisée ou multipliée par les racines de la transformée, ou par un multiple de ces racines. -px + q on substituera y + 1, PAR exemple, pour trouver la transformée de x3. & l'on trouvera y3 * py 37 2 PP 2733 = 0; 37 multipliant le tout par y3, l'on aura y gy3+2=0, pour la transformée qu'on cherche. Cette transformée n'est fecond degré. Si la propofée étoit x3pxqo, on fuppoferoit x=y -, & l'on trouveroit la transformée yo ➡ qy3 — 22, CETTE derniere transformation fert à réduire toutes les équations du troifiéme degré, qui n'ont point de fecond terme, à une transformée du fecond degré. Quand on aura trouvé la valeur de y dans la transformée, on substituera cette valeur dans l'équation xy, & l'on aura la valeur de x; c'est à dire, l'on connoîtra une des racines de la proposée. X. Pour trouver une transformée dont les racines ayent tel rapport qu'on voudra avec celles de la proposée, N fuppofera f.gy. x, d'où l'on déduira x =; on substituera cette valeur & fes puiffances à la place dex & de fes puiffances dans la propofée xnxx → px l'on trouvera la transformée j3 nfyy pffy qui eft celle qu'on cherchoit. Demonflration du Probleme. Pour démontrer ce Problême, il ne faut faire attention UR qu'aux équations fimples dont une équation compofée eft le produit. Soient x a = O. X b o, les équations fimples de l'équation composée xx ax + ab = o, qu'on veut transformer. bx. Il est évident que les équations fimples de la transformée, dont les racines feront les racines de la propofée, augmentées def, feront y—f—a=0. y — f —b=0; car la premiere donne ya+f; la feconde donne y=b+f. Les équations fimples de la transformée, dont les racines feront celles de la propofée, diminuées de f, feront yƒ— a =o.y+f—bo; car la premiere donne y = a - f; la feconde donne y=b-f. Il en eft de même des autres transformations. Il est auffi évident qu'en fubftituant y -f, ou bien y fi au lieu de x, dans les équations fimples de la propofée x → a =0,*b=o, l'on aura aprés la fubftitution, les équations fimples de la transformée y-ƒ—a=0,y—f — b o, &c. Mais il eft clair qu'en fubftituant yf, par exemple, à la place de x; & le quarré dey -ƒ à la place de xx, -f dans l'équation xx ax + ab = o, qui eft le produit des fim bx - plesx−a−o, x bo, l'on a le même produit qu'on auroit en multipliant les fimples y —ƒ—a=0,y—ƒ— b o, dans lesquelles les fimples x — a = o, x-b=o, ont été changées par la fubftitution de y-ƒ, à la place de x: Et ce produit eft évidemment l'équation transformée. L'on a donc par la méthode du Problême, la transformée qu'on cherche. Corollaires, qui fuivent des trois premieres transformations. I. Il fuit de cette démonstration, que s'il y avoit des racines imaginaires dans une équation, elles demeureroient encore imaginaires dans fa transformée. II. 37. Quand il y a des racines pofitives & négatives dans l'équa |