font tous divifeurs du nombre propofé; ainfi du refte. Un exemple éclaircira tout ceci. On propofe de trouver tous les diviseurs exacts de 360, Proc. 360 2 180 2.. 4 45.. 6..12..24 15 3.. 9.18.36.72 5 5.10..15..20..40..30..60.120.45.90.180.360; Les divifeurs de 360 font donc au nombre de 24; favoir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. DÉM. On voit que 90 étant contenu deux fois dans 180, & 180 deux fois dans 360, fera contenu quatre fois dans 360; donc 4 eft diviseur de 360: 2°. 45 étant contenu deux fois dans 90, & 90 quatre fois dans 360, eft contenu huit fois dans 360; donc 8 eft diviseur de 360. Par un femblable raifonnement, on prouvera que les autres nombres qu'on a trouvés par la regle générale, dès l'unité jufqu'à 360 font tous diviseurs de 360; il n'eft pas moins clair qu'en fuivant cette regle on a trouvé tous les divifeurs poffibles du nombre propofé 360; ainfi des autres. C. Q. F. Dét. Des Fractions Décimales. 148. DÉF. Les fractions décimales ou les parties décimales, comme on l'a vu (8), ne font autre chofe que la numération continuée au deffous de l'unité, ou ce font des fractions qui ont pour dénominateur l'unité, fuivie d'un ou de plufieurs zéros, & dont le dénominateur est sup primé. Comme les fractions décimales s'écri vent à la fuite des entiers, on fépare les unes des autres par une virgule. Pour lire ces fortes de fractions, on fupplée au deffous d'elles l'unité fuivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule; ainfi 3,8 repréfente 3 entiers & 8 dixiemes, ou 38 dixiemes; 0,75 représente 75 centiemes; 42,73589 repréfente quatre millions deux cents foixante & treize mille cinq cents quatre-vingt-neuf cents-milliemes, &c. voyez le n°8. Cela pofé, il n'y aura plus de difficulté pour écrire une fraction décimale quelconque. C. Q. F. B. R. 149. PROB. Changer une fraction ordinaire en fraction décimale. Regle générale. 1°. On réduira le numérateur, confidéré comme des entiers, en dixiemes, en le multipliant par 10; on divifera le produit par le dénominateur, le quotient donnera des dixiemes, qu'on écrira au rang des dixiemes, c'est-à-dire immédiatement après la virgule; 2°. on réduira le refte en centiemes, en le multipliant par 10, parce que des dixiemes multipliés par des dixiemes donnent des centiemes; on divifera le produit par le même dénominateur, on mettra le quotient au rang des centiemes; 3°. s'il y a un refte on le multipliera par 10, pour avoir des milliemes, qu'on divifera par le dénominateur; on mettra le quotient au rang des milliemes; enfin on suivra l'opération en multipliant chaque refte par 10, & divifant le produit par le dénominateur, chaque quotient le mettra au rang de fa dénomination, jufqu'à ce que le reste soit fi petit, qu'il ne differe pas de zéro, ou qu'il puiffe être négligé fans erreur fenfible, ou jusqu'à ce qu'il ne refte rien, fi la chose eft poffible: on 7°. 0,1333333 &c. à l'infini. 125 =0,125. ου 1000 0,142857142857142857&ci à l'infini. 0,26262626 &c. à l'infini; ainfi des autres. C. Q. F. Dét. 150. DÉF. Lorsqu'en changeant une fraction ordinaire en fraction décimale, on retrouve les mêmes chiffres, ces chiffres fe nomment période; dans le fixieme exemple la période eft de fix chiffres, 142857; dans le quatrieme, la période n'a qu'un chiffre; dans le dernier exemple la période a deux chiffres, 26, &c. 151. THÉORÊME. Tout dividende plus petit que fon divifeur, compofé d'un ou de plufieurs 9, donne pour quotient une fuite infinie de périodes où le dividende fe trouve répété, & dont chacune contient autant de chiffres qu'il y a de 9 dans le divifeur. 2o. Et réciproquement, toute fuite infinie de périodes décimales eft égale au quotient d'une période divifée par un nombre compofé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, à la fuite defquels on mettra autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux avant la premiere période. A demontrer 1°. Que 2*99=0,02020202 &c. à l'infini. DÉMONST. Il est évident que pour divifer un nombre plus petit que 99 par 99, il faut le réfoudre en centiemes, & qu'on aura autant de cent centiemes que le dividende contient d'unités, & que chaque cent centieme divifé par 99 donne un centieme au quotient & un centieme de refte, le quotient aura donc autant de centiemes que le dividende contient d'unités ; mais pour exprimer des centiemes il faut deux chiffres décimaux: on aura donc dans cet exemple deux centiemes pour premiere période & deux centiemes de refte, qu'il faudra réduire en centiemes de centiemes, ou les multiplier par cent, pour pouvoir les divifer par 99, & on aura autant de centiemes de centiemes au quotient que le dividende contient d'unités, ce qui donne les deux mêmes chiffres pour la feconde période ; ainfi de fuite; ce qui eft confirmé par la divifion même. On démontrera par un femblable raisonnement que 0,37373737, &c. & que.... 42 999 0,042042042, &c. à l'infini. 99 2°. Le fecond cas eft évident; car fi 0,373737, &c. eft le résultat de 3799, il faut que la fuite infinie de périodes décimales foit égale à une période divifée par autant de 9 qu'elle contient de chiffres; ici, par exemple, la période est égale à 37 il ne s'agit donc que de démontrer qu'une fraction décimale compofée de dixiemes, de centiemes, &c. & d'une fuite de périodes égales, est égale à la fraction décimale qui précede la premiere période, plus une de ces périodes divifée par un nombre compofé d'autant de 9 qu'el le contient de chiffres, & à la fuite defquels 9 on écrira autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux avant la premiere période. A démontrer que 0,004262626 &c. eft égale 4 + 26 21000990000 DÉM. DÉM. Si la premiere période 26 accupoit le premier rang après la virgule, la fuite înfinie fe roit, comme on vient de voir, 3; mais comme elle ne commence qu'après le rang des mille, le nombre 6 fe trouve mille fois trop grand; il faut donc le rendre mille fois plus petit en le divifant par 1000; ainfi la valeur de toutes les périodes de cette fraction décimale 0,004262626 &c. eft,206. mais la fraction décimale 0,004 qui précede les périodes en eft indépendante; elle fait donc partie de la fraction totale; il faut donc l'ajouter à ce quotient,,, pour avoir sa valeur entiere+,0%. C. Q. F. 2°. Dét. 152. D'où il fuit, que toute fraction décimale à période peut fe changer en fraction ordinaire ; car dans ce dernier exemple, en réduisant les fractions, &, à la même dénomina→ 99000 26 99000 tion, on aura 26 99000 10009 26 99000 & 42200,004262626, &c, ou 211 49500 999999 ainfi des autres. On a trouvé (149), que 0,142857142857 &c., & il faut (151) qué cette fuite infinie foit égale à 1999; or cette fraction réduite à fes moindres termes, devient , en divifant les deux termes par le numérateur 142857; ce qui confirme ce théorême. C. Q. F. B. R. 153. 1°. Une fraction décimale ne change point de valeur, fi après le dernier chiffre on écrit un ou plufieurs zéros; 2°. on multiplie une fraction décimale par 10, par 100, par 1000, par 10000, &c. en avançant la virgule vers la droite d'autant de rangs qu'il y a de zéros dans le nombre qui multiplie; 3°. on divife une fraction décimale par 10, par 100, par 1000, &c. en avançant la virgule vers la gauche d'autant K |