valeur, on on fubftitue à la place de y fa valeur x, bx-+-bd a 21.21.21 20.20 20 a3x x= *; mais on a déjà trouvé 63 ; on aura donc cette équation a3x d'où aax = l*x+b4d, tranfpofant, on aura a*x — b+x=b4d, divifant par a4-b4, on b4d aura x = a4-64 (0)4X500 C. Q. F. Dét. (21)-(20)4 L'on voit donc que la formule qui indique ce que l'on doit prendre du capital & joindre à l'intérêt de la premiere année pour faire le premier paiement, eft l'intérêt de la premiere année multiplié par le denier de l'intérêt élevé à la puiffance défignée par le nombre des paiemens, ici à la 4 puiffance; le tout divifé par la même puiffance d'un nombre qui excede le denier de l'intérêt d'une unité, moins cette même puiffance du denier de l'intérêt; ce divifeur eft ici a4 — b4 = (21)4 — (20)4. S'il y avoit dix paiemens, on auroit pour la valeur de x cette formule, 0.191010 Il eft bon d'obferver que ces quantités x, y, m, u, que l'on prend fur le capital dans chaque paiement pour joindre à l'intérêt de l'année correfpondante, font en progreffion géométrique, dont la raison eft ; car on a, ax ona, 1o. == y, d'où b:a::x:y d'oùry::y:m =11, d'où b: a::m: u C.Q.F.B.R. PROPRIÉTÉS PROPRIÉTÉS PARTICULIERES DES NOMBRES. Du nombre 9. 473. În a vu (no. 123 ) dans la réduction des fractions à leurs moindres termes, que tout nombre compofé de chiffre dont l'addition donne une ou plufieurs fois 9, fe divife exactement par 9 la raifon en eft que fi on multiplie 9 par 2,3,4,5,6,7, 8, &c., on a des produits 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, &c. tels que l'addition de leurs chiffres donne 9; on voit que 1 & 8 font 9, 2 & 7 font 9, &c. Cette propriété du 9 vient de ce que tout chiffre qui le multiplie donne pour produits autant de dixaines qu'il vaut d'unités moins ce nombre d'unités; 9 x 7 donne 7 dixaines moins 7, favoir 63707; ce produit 63 contient donc 7 dixaines moins une dixaine, plus 3 unités, différence du multiplicateur 7 à 10. Or, en général la différence d'un chiffre quelconque à 10, ajoutée à ce chiffre diminué d'une unité, donne 9; donc tout produit de deux chiffres qui a 9 pour facteur eft composé de chiffres dont l'addition donne une ou plufieurs fois 9, puifque le chiffre qui eft au rang des dixaines repréfentera toujours l'autre facteur diminué d'une unité, & que celui qui eft au rang des unités représentera la différence de cet autre facteur à 10. Et il eft clair que le même raisonnement aura lieu lorfque le multiplicateur de 9 aura plus d'un chiffre, parce que s'il en a deux, Hh par exemple 21, on pourra faire pour les 20 unités que renferme le chiffre qui eft au rang des dixaines, le même raifonnement qu'on fait pour le chiffre 2 lorfqu'il eft au rang des unités. Des nombres premiers. 474. DÉF. On appelle nombres premiers, les nombres qui n'ont d'autres divifeurs qu'euxmêmes ou l'unité; ainfi les nombres premiers compris entre 1 & 10 font 2, 34, 5, 7 = b; entre 10 & 100 ils font au nombre de 19: "favoir 11 = c, 13 = d, 17 =e, 19 =ƒ, 23g, 29 h, 31 j, 37=k, 41=1, 29h, = 47m, 53n, 59 = p, 61=q, 67 =1, 715, 731, 79 u, 83=x, 89=y, 97, 101 = a1, &c. Pour conftruire la table des nombres premiers, & la fuivre auffi loin que l'on voudra, on a obfervé 1°. que tout nombre pair, ou terminé par 5 ou par zéro, n'étoit pas nombre premier, excepté 2 & 5 qui font des nombres premiers; & que tout nombre plus grand que 5 & qui finit par 5 eft divisible par 5, & fouvent par 3; 2°. que tous les nombres premiers, excepté 2 & 5, fe terminent par des chiffres impairs, & feulement par ces quatre caracteres 1,3a, 7 = b, 9;& que tout nombre terminé par un de ces chiffres o, 2, 4, 5, 6, 8, n'eft pas un nombre premier; que tout nombre premier eft fait du double d'un nombre premier, plus ou moins l'unité ou plus ou moins un petit nombre premier; on voit que 11 eft fait de deux fois le nombre premier 5 plus 1; que 13 eft fait de deux fois le nombre premier 7 moins 1; que 17 eft fait de deux fois le nombre premier 7, plus le nombre premier 3; que 31 eft fait de deux fois 13 plus 5, ou de 2 fois 17 moins 3; ainfi des autres (1). D'après ces obfervations, fi on défigne par a tout nombre divifible par 3; par b tout nombre divisible par 7; par c tout nombre divifible par 11, &c. & par un point. tout nombre premiernformera aifément la table qui comprend les nombres premiers qui fe trouvent entre 1 & 1200, & qu'on peut continuer auffi loin qu'on voudra. Pour cet effet, je forme 3 colonnes verticales A, B, C, qui comprennent la fuite des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... jusqu'à 120; ces colonnes font efpacées de maniere que vers le fommet je place les 4 caracteres 1,3,7,9, par l'un defquels fe termine tout nombre premier, excepté 2 & 5; au-deffous de ces caracteres 1, 3, 7, 9, on trouve entre les colonnes à la fuite de chaque nombre de la colonne, les caracteres a, b, c, d, e, f, g, h, j, &c. ou des points; par exemple, à côté de 1 pris dans la colonne A, on trouve un point. fous chaque caractere 1,3,7, 9; cela indique que les nombres 11, 13, 17, 19, font des nombres premiers. On voit que tout nombre premier au deffous de 1200 ne peut être qu'un nombre pris dans les colonnes, fuivi d'un de ces quatre chiffres 1, 3, 7, 9 A côté de 2 dans le rang horifontal on trouve a fous 1, ce qui indique que 21eft divisible par 3; (1) Léibnitz a remarqué, dans une lettre écrite au Journal des Savans le 11 Février 1678, que tout nombre premier au-deffus de 5, étant diminué de 1 ou de 5, est divifible par 6. Ainfi, par exemple,7-16; 115=6; 13-16 x 2; 101-5= 6 x 16 &c2 on trouve un point. fous le 3 tupérieur; ce qui indique que 23 eft un nombre premier; on trouve un a fous le 7 dans le même rang horifontal, ce qui indique que 27 eft divisible par 3, &c. 475. TABLE tirée du crible d'Eratofthenes, par laquelle on détermine tous les nombres premiers compris entre 1 & 1200, de même que tous les nombres impairs intermédiaires qui ont des divifeurs défignés par les valeurs des lettres a, b, c, d, &c. 1 50 90 II 12 13 14 ་5 16 b 17 18 a a a b 51 b аса 91 c b b 53 a da b 93 ba 19 20 54 55fb 2156 d a ca . a 97 f98 99 a a b. f 44. a c |