poser, comme on a fait dans l'Article XVII. Il fuffira de placer leurs côtés

AD, DH, de façon qu'ils faffent un FIG. 7. angle droit, & de tirer enfuite la ligne AH, puifqu'alors cette ligne fera le côté du quarré cherché AHIE.

X X.

Si on avoit deux figures femblable DAFGM, DHPON, & qu'on fe pro pofât d'en faire une troifiéme, égal en fuperficie aux deux autres prifes enfemble, il ne faudroit que pofer les bases AD, HD de ces fig

FIGO

deux côtés d'un angle droit ADH, & Si les cô l'hypoténuse AH du triangle H fe

roit la bafe de

demandée.

d'un triang

rectangle fer

vent de bafes à trois figures fembla

gure faite fur

Pour en yoir la raifon qu'on ima- bles, la figine les quarrés ABCD, DHKL, hypoténufe AHIE, faits fur les bafes des trois fi- deux autres

égalera les

prises enfem

gures femblables, on verra d'abord par be. l'Article XVIII. que le quarré AHIE vaudra lui feul les deux autres quarrés ABCD, DHKL. Or les figures

la

femblables font entr'elles comme les quarrés de leurs côtés homologues , (I. Part. Art. XLVII.). Donc les trois quarrés ABCD, DHKL, AHIE, se trouveront les mêmes parties des figures DAFGM, DHPON, AHQRS. D'où il fera aifé de conclure que figure AHQRS vaudra les deux autres. Suppofons, par exemple, que chacun de ces quarrés fût la moitié de la figure dans laquelle il feroit renfermé, perfonne ne douteroit que la figure AHQRS ne fût égale aux deux fque fa moitié vaudroit feu

t

Hetes moitiés des deux figures DHP ON DAFGM. Il en feroit de même fi les quar DHKL, AHIE, étoient les deux es, les trois quarts,

&c. des figures DAFGM, DHPON, AHQRS.

X X I.

Si on fe propofoit d'ajoûter trais

Réduire plufieurs fi blables à une

quatre, &c. figures femblables, ou, ce qui revient au même, trois, quatre, gures fem&c. quarrés, la méthode seroit toûjours feule. la même. Qu'on voulût, par exemple, en ajoûter trois, on feroit d'abord un quarré égal aux deux premiers; enfuite à ce nouveau quarré on ajoûteroit le troifiéme, & par-là on auroit un quarré égal aux trois quarrés propofés.

XXII.

DE-là il fuit

que

fi on fe propofoit de faire un quarré, cinq, fix, &c. fois plus grand qu'un autre, il fuffiroit de fuivre la méthode précédente pour réfoudre ce problême, & même fon inverfe; c'eft-à-dire, pour faire un quarré qui ne feroit que la cinquième, la fixiéme, &c. partie d'un quarré propo. fé; ce qui demanderoit fimplement qu'on se rappellât la maniére de trouver une quatriéme proportionnelle à trois lignes données. Mais dans la

troifiéme Partie de cet Ouvrage, nous donnerons une méthode plus directe & plus commode pour réfoudre ces fortes de problêmes.

XXIII.

L'ADDITION des figures femblables fournit une preuve décifive de la néceffité d'abandonner les échelles, quand on veut faire les opérations d'une manière qui puisse se démontrer rigoureusement.

Suppofons, , par exemple, qu'on eût à faire un quarré double d'un autre, ceux qui ne fçauroient pas la méthode donnée dans l'Article XVI. s'y prendroient vraisemblablement de la maniére fuivante.

Ils diviferoient le côté du quarré donné dans un grand nombre de parties, en 100 parties par exemple; enfuite multipliant 100 par 100, ils trouveroient 10000 pour la valeur du

quar

ré; ce qui donneroit 20000 pour celle du quarré demandé.

Mais de la valeur de celui-ci, ils ne

tireroient pas la maniére de le décrire ; il faudroit qu'ils euffent fon côté exprimé par un nombre, & que ce nombre fût tel qu'en le multipliant par même ; c'est-à-dire, en le quarrant, produit donnât 20000.

lui

le

Le produit qui résulte de la multiplication d'un nombre

Or le nombre dont ils auroient be- par lui-mê

me eft le

nombre.

foin, ce feroit en vain qu'ils le cher- quarrée ce cheroient fur une échelle dont les par ties feroient des centiémes du côté du premier quarré; car 141, multiplié par lui-même, donneroit 19881, & 142 donneroit 20164 ; ce qui s'écarteroit de part & d'autre du nombre qu'ils de

vroient trouver.

Peut-être pourroient-ils croire qu'en partageant le côté du quarré donné en plus de 100 parties, ils trouveroient un nombre déterminé de ces parties pour le côté du quarré double du premier; mais quelques effais qu'ils