on peut mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen, démontrer d'une maniere qui eft toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progreffions geometriques. 2o. L'on remarquera auffi qu'en fuivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progreffions arithmetiques. 3°. Que l'équation qui exprime la confequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à fes plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre femblable celle qui renferme l'Hypothese car une équation étant vraye dans un état, elle le fera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir. Il s'agit prefentement d'ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. POUR les ajouter, on les écrira de fuite fans changer aucun figne; & pour les fouftraire, on les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, foit que leur dénominateur foit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur; & après avoir réduit (art. 1. n°. 11.) dans l'un & l'autre les numerateurs femblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux expreffions qui fera la plus fimple. cas, ab aa - bb bb de l'on écrira 2 c qui eft une expreffion plus fimple que la premiere. Pour fouftraire MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & enfuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à fon expreffion la plus fimple. bc 1. Ayant fuppofé d = q. Il faut prouver que acc La premiere fuppofition donne ac = bp, & la feconde, bc = dq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) abcc est appellé raport compofe, ou raifon compofee; & le produit d'un raport —, multiplié par lui-même, est appellé b raport doublé, ou raifon doublée, D VISIO N. 46. LE produit du numerateur du dividende par le dénominateur du divifeur fera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du divifeur, fera le dénominateur du quotient. On réduira enfuite le quotient à fon expreffion la plus fimple. Soit propofé le raport ab ac ab 6 à diviser par Ayant suppose == p, & =q⋅ bb cc acb ACC La premiere fuppofition donne ab = cp; la feconde, acbq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) ab cp = ou, en mul bq tipliant chaque membre par 6, & divifant chaque membre EXTRACTION Des racines des quantitez fraktionnaires. 47. IL eft clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur & celle du dénominateur, & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la racine de la propofée. Ainfi v en eft ainfi des autres. Les mêmes operations fur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier. Fin de l'Introduction. Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problêmes, & démontrer les Theorêmes de Geometrie. 1. L y a deux fortes de propofitions dans la 1. Les Theorêmes font des propofitions. qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer, A 2. Les Problêmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on faffe quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la question. Ce qui s'appelle refoudre le Problême. y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéterminez. 3. Les Problêmes déterminez font ceux qui n'ont qu'une feule folution, ou qu'un nombre déterminé de folutions. Si l'on propofe, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une feule folution; mais si l'on FIG. 1. propofe de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC x CB foit égal au quarré d'une autre ligne donnée EF; il eft clair que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car fi après avoir trouvé le point C qui fatisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui foit autant éloigné de A que C l'eft de B, le rectangle AD × DB fera égal au rectangle AC x CB puifque AD — CB, & AC—DB. Il est aifé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puisse satisfaire au Problême. 4. Les Problêmes indéterminez font ceux qui ont une infinité de folutions : comme fi l'on propofe de diviser une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il eft évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même fi l'on propose de trouver deux lignes dont le raport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prifes d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles le même raport. Semblablement. FIG. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpendiculaire BH, menée du point cherché B fur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On fçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes |