analogie bbyy. xx :: bb. aa ::

· yy.xx::bb. aa :: 4bb. 4aa. DQ × QE.

QM' :: DE'. AB3. C. Q. F. D.

DEFINITIO N.

19.SI l'on fait 26. 2a :: 2a. 24 que je nomme; la ligne =p eft appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLAIRE.

20. b. a:: 2a. p, doŋne bp =
= 2aa

=

bb

ou bbp =2aab >

ou ; c'est pourquoi fi on met 26 en la place de b
26
dans l'équation précedente, l'on aura bbyy=26xx,
ou fi l'on fait, l'on aura bb — yy = mxx

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

PROPOSITION VI.

Problême.

21.UN E équation à l'Ellipse ab — xx=

суу

d

étant don

née, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit. Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b qui foit f; & par conféquent f ab; ainfi l'équation sera ff — xx = . On fait ce changement parceque ab étant l'expreffion du quarré du demi diametre dont les parties font nommées x, cette expreffion doit auffi être un quarré.

=

Soit préfentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG. 58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipse puifque les inconnues x & y n'ont point de fecond terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=ƒf; AB fera le grand axe, fic furpaffe d; le petit, fi c est moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

foit fait c. d:: ff. dff, & foit prife CD & CE chacune
égale à Vaff. Pour trouver CD= C E = √ dff — ñ ;
= n; il
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d,
qui fera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c.
g. f. une quatriême proportionnelle qui sera n= √dff.
Car puifque c. g. d. font en proportion continue, c. d ::
cc. gg; mais ayant encore c.g::f. n. on aura cc. gg :: ff. nn.
donc c. d:: ff. nn. = dff. & par conféquent n = √dff;
DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant enfuite trouvé
les foyers F & G par la troifiême Propofition, on dé-
crira l'Ellipse par la premiere.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UNE Ellipfe ADBE, dont AB eft le grand axe; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en I, en forte que MI MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point O milieu de GI fera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puifque par la construction MG=MI,&10=OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera ifoscele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM+ MI = FM+MG, donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

I. SI l'on mene MK parallele à IG; l'angle KMO sera droit puifque (Conft.) GI eft perpendiculaire à MO.

COROLLAIRE II.

2. LA ligne MK partage l'angle FMG en deux également: car à caufe de KM parallele à GI, l'angle FMK

FIG=MGI GMK.

COROLLAIRE III.

3. LA tangente MO rencontre l'axe AB prolongé en T : car Fangle GOT eft droit, & l'angle OGTˇest aigu.

4.

L'ANGLEFML est égal à l'angle GMO; puisqu'ils font les complémens des angles égaux FMK, GMK; d'où il fuit que fi le foyer G étoit un point lumineux, les rayons réfléchis à la rencontre de l'Ellipfe pafferoient tous par le foyer F.

S.

DEFINITIONS.

AYANT ANT abbaiffé du point M fur l'axe AB la perpendiculaire MP. PT eft appellée la foutangente, MK la perpendiculaire, & PK, la fouperpendiculaire, ou founormale.

6. AYANT fuppofe les mêmes chofes que dans la Propofition précédente; & nommé comme dans la premiére Propofi tion AC, ou CB, a; CF, ou CG, c; CP, x; PM, y; FP fera c+x, & GP, c—x, ou x- c; cela pose. Je dis que l'expreffion algebrique de la foutangente PT fera

aa-xx