analogie bb-yy.xx :: bb. aa :: 466.4aa. DQx QE.

QM' :: DE. AB'. C. Q. F. D.

2aa

19.SI l'on fait 26. 2a :: 2a. que je nomme p; la ligne

= p est appellée le parametre de l'axe DE.

ou

COROLLAIRE.

20. b. a :: 2a. p, donne bp = 2aa ou bbp=2aab,

P

=;

P

c'est pourquoi si on met en la place de b dans l'équation précedente, l'on aura bb

yy

mxx

, l'on aura bb-yy.

26xx
P P

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on

a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

PROPOSITION VI.

Problême.

d

21.U N E équation à l' Ellipse ab - xx= Yétant don née, décrire l'Ellipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

=

d

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b qui soit f; & par conséquent ff ab; ainsi l'équation sera ff - xx = 7. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées x, cette expression doit aussi être un quarré.

Soit présentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG.58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit aussi être le centre de l'Ellipse, puisque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune = f; A B sera le grand axe, sic surpasse d; le petit, si cest moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

foit fait c. d :: ff. aff, & foit prise CD & CE chacune égale à Vaff. Pour trouver CD=CE=√t = n; il faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d, qui sera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c. g. f. une quatriême proportionnelle qui sera n =√哗. Car puisque c. g. d. font en proportion continue, c. d :: cc. gg; mais ayant encore c. g::f. n. on aura cc. gg :: ff. nn. donc c. d :: ff. nn. = ff. & par conséquent n = v; DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant ensuite trouvé les foyers F & G par la troisiême Proposition, on décrira l'Ellipse par la premiere.

DE'MONSTRATΙΟΝ.

dff

ELLE est évidente par ce que l'on a démontré n°. 12.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UN E Ellipse ADBE, dont AB est le grand axc; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipse mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en I, en sorte que MI = MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point o milieu de GI fera la tangente cherchée.

DEMONSTRATION.

D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI; puisque par la conftruction MG=MI,&10=OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera isoscele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM + MI = FM+MG; donc le point Z est hors de l'Ellipse. C. Q. F. D.

:

COROLLAIRE I.

1. SI l'on mene MK parallele à IG; l'angle KMO fera droit: puisque (Const. ) GI eft perpendiculaire à Mмо.

COROLLAIRE II.

2. LA ligne MK partage l'angle FMG en deux également: car à cause de KM parallele à GI, l'angle FMK

FIG= MGI=GMK.

COROLLAIRE III.

3. LA tangente MO rencontre l'axe AB prolongé en T: car l'angle GOT est droit, & l'angle OGT est aigu.

COROLLAIRE IV.

4. L'ANGLE FML est égal à l'angle GMO; puisqu'ils font les complémens des angles égaux FMK,GMK ; d'où il suit que si le foyer G étoit un point lumineux, les rayons réfléchis à la rencontre de l'Ellipse passeroient tous par le foyer F.

DEFINITIONS.

5. AYANT abbaissé du point M fur l'axe AB la perpendiculaire MP. PT est appellée la soutangente, MK la perpendiculaire, & PK, la fouperpendiculaire, ou founormale.

6. AYANT suppose les mêmes choses que dans la Propofition précédente; & nommé comme dans la première Propofition AC, ou CB, a; CF, ou CG, c; CP, x; PM, y; FP fera c+x, &GP, c-x, ou x - c; cela posé. Je dis que l'expression algebrique de la foutangente PT fera