COROLLAIRE I. 30. LA Proportion précédente donne pf = add ; donc 2f P 31. L'on peut encore changer le raport, ou en N m P muu un autre raport égal, -, & l'on aura ff -f=-, се n qui donne ff-∫∫. uu :: m. n, On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. : COROLLAIRE III. 32. IL est clair (no. 25. & 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre. PROPOSITION XIII. Problême. : 1 33. DEUX lignes quelconques FS & MV qui se se coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la mème Ellipse. Cette Proposition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un seul, comme on va voir dans le second: le premier est lorsque les lignes FS & MV font égales: le second lorsqu'elles font inégales. 34. AYANT joint les points M, S&M, F, & ayant Fic. 65. divise MS & MF par le milieu en P & Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF sont égales, & que les points P & Q divisent par le milieu MS & M F. Soit ensuite fait PI = CP & QH=CQ, & du centre Copar I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE sont les axes, passera par les points M, F, V & S. DEMONSTRATION. : 2 AYANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP, ou PI, x; PM, ou CQ, ou QH, y; l'on a par la propriété du cercle, & par la Construction, aa - xx (AP × PB)=xx (Pr, ou CP), & bb - yy (EQxQD) =yy ( QH2, ou CQ2), d'où l'on tire x = √ aa, & y =√bb; c'est pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M, V& F, font à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. Q. F. D. SECOND CAS. 35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faite F16.66. MK prise sur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS ; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puisque (no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & FS font deux diametres conjuguez; & que ( no. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera TC, & HC indefiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H : l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & CP; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA =CB, & CE = CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & ED (qui à cause du cercle se coupent à angles droits ) font les axes, passera par les points M,F,V & S. : DEMONSTRATION. : AYANT abaissfé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point divisera CT par le milieu en N; & partant NG=CH, & ayant abbaissé du point S sur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CQ,y; & CI, z; l'on aura (Conft.) aa CP(x).CB (a) :: CB (a). CT =, & L aa : bb bb 2y aa 20 ,TP= - x, & QH = -y, & les triangles semblables y CIS, MQH, TPM donneront CI (2). CS(f) :: MQ(x). MH = aa aaf fx (-x) TM; donc HM+MT, ou a 1 bb MQ(x). QH (-y) :: CI (3). IS = donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS*) = zz + += zzyy ; cette équation délivrée de fractions A. bx = a*b* - zabbyy ay. Pour abreger encore il faut diviser cette équation par zz, qu'il faut égaler à o, o, & l'on aura B. ab zabbyy + a'y-b*x* = 0. Laquelle étant divisée par aabb+bbxx aayy, il viendra au quotient aabb - bbxx- aayy = o, qui se réduit à aa aayy cette équation qui est une équation à une Ellipse dont les axes font (Prop. 1.) AB = 24, & DE= 26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V; puisque (Hyp.) CM=CV. Or (Conft.) CM (d). CS (f) :: CS (f). MK=4: = CM × MK = Const. CS*)=ff, d'où l'on tire z= aa - xx ; c'est pourquoi (no. 18.) l'Ellipse passe aussi par les points S & F. C. Q. F. D. aayy Pour trouver le diviseur aabb - bbxx, tirez la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez aayy = + bbxx, laquelle étant réduite à o, aabb donnera aabb cherché. bbxx = o, qui sera le diviseur Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette forte, 1 Ajoutez de part & d'autre le quarré bo de la moitié bb du coefficient 266 du second terme abbyy, & vous aurez a+ Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez -aabb Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy - aabb =+bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy +bbxx=0, & aayy - aabb - bbxx = 0, a cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeant les signes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb- bbxx = o, qui est le diviseur cherché. aayy COROLLAIRE. 36. SI MV=FS; CM fera=MK; 3 car par la constrution MK a été faire égale à la troisiême proportion. nelle, à CM & CS. Donc fi MV = FS, par conféquent CM=CS. Donc CM=MK; & partant les points O & G se confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV. Problême. a UNE équation à l'Ellipse ab xx = ctant donnée, décrire l'Ellipse, lorsque les coordonnées font un angle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez |