par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente, on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipse par la premiere. Où l'on démontre les principales proprierez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan. PROPOSITION I XIV. U Theorême. N angle quelconque HCK, & un point quel- FIG. 67. conque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, &qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par point D, feront à une Hyperbole, dont CH & ČK font les afymptotes. DE'MONSTRATION. le AYANT mené par les points D & O, les lignes DZ, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car KN OG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=0I. 2o. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puifqu'ils font externe & interne du même côté, 3°. L'autre angle adjacent NDO est aussi égal à l'autre angle adjacent GIO + KN = KC = par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au ༢. ༢. L'équation cd=fz peut auffi fe réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD =c& DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED sera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il est manifeste que & Saugmenteront à l'infini, COROLLAIRE I. FIG. 67. 1. I L eft clair que tous les rectangles femblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux aù même rectangle CL × LD; & que l'on a toujours s1⁄2 =cd. COROLLAIRE I I. 2. SIl'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par Bune ligne quelconque TBS qui qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les =VS. =QS; donc TB COROLLAIRE I I I. 3. IL eft clair que les parallelogrammes CD, CB, CO; CV font égaux entr'eux. 4.SI l'on avoit nommé NF, ou RO,s, l'on auroit eu √z = cd - cz, qui montre que lorfqu'une équation à 1'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des afymptotes. 5.IL Left évident que lorfqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO =DI peuvent fervir à en trouver d'autres comme B, & B à en trouver d'autres comme V, &c. PROPOSITION II. Theorême. 6. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere FIG. 67. Propofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des afymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre ŎG & DL, prolongées ou non prolongées en P& en M. Je dis le rectangle CM× CN, ou CM × LD eft égal au rectangle CP x CF, ou CP × GO. X que Ayant nommé les données CZ, d; CN, c; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,f; CG, ou FO, z; CP, u. Il faut prouver que ac = us. DEMONSTRATION. A Caufe des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CM :: CG. ČP, ou en termes algebriques d. a:: z. u; donc du =az: mais ( Prop. 1. ) s1⁄2 = cd, d'où l'on tire =; mettant donc cette valeur de ༢. dans l'équation précédente, l'on aura fuac. C. Q. F. D. On peut encore démontrer cette Propofition en cette forte. A cause des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG :: CM.CP; c'eft pourquoi en mettant dans l'équation de la Propofition précédente f= cd, en la place de d (CL) & dez (CG) leurs proportionnelles a ( CM ) & u (CP), l'on aura fu = ac. ༢ PROPOSITION III. Problême. FIG. 69.7. UNE Hyperbole MBm, dont les afymptotes font CT; &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT. Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles aux afymptotes, foit prise ITCI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point. T DE'MONSTRATION. PAR l'Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B ; & parceque CI=IT, TB sera auffi = BH; d'où il fuit que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO (no. 2.) BT feroit BH. ce qui eft impoffible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D. = = 8. IL eft clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les afymptotes en T & H, font divifées en deux également par le point touchant B. 9. COROLLAIRE II. IL fuit auffi que fi la position de la tangente TBH, eft telle que la ligne menée de l'angle C des afymptotes au point touchant B, divife cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire: car puifque les angles BCG, BCI font égaux, le parallelogramme GI fera un rhombe; & partant CI= CG, donc CT (n°. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT font droits. 10.IL fuit encore que fi l'angle des afymptotes HCT est droit dans toutes les Pofitions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des afymptotes au point touchant B fera = B H = BT; fi cet angle eft aigu, CB furpaffera BH, ou BT; s'il eft obtus CB fera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle fur le diametre HT, le point C fera fur la circonférence fi l'angle HCT eft droit, hors du demi cercle, s'il eft aigu; & dans le demi cercle, s'il est obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT ; au second, CB, furpaffe BH, ou BT; & au troifiéme, elle est moindre. 11.IL est encore manifeste que les lignes Z K, Mm paralleles à la tangente HBT font coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puifque BH= BT, PL fera = PK: mais (n°. 2. ) M L=mK ; donc PM Pm. |