par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente; on déterminera les foyers par la troisième, & on décrira l'Ellipse par la premiere.

SECTION

VIL.

Où l'on démontre les principales proprietez de

XIV.

l'Hyperbole décrite par des points trouvez

U

fur un Plan.

PROPOSITION L.

Theorême.

N angle quelconque HCK, & un point quel- FIG. 67.

conque D dans cet angle, étant donnez de pofition sur un Plan; fi l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, & qu'on prenne sur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O & D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les asymptotes.

DEMONSTRAΤΙΟΝ.

AYANT mené par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK, c; car KN = OG, puisque le triangle KDN a ses côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils font externe & interne du même côté. 3o. L'autre angle adjacent NDO est aussi égal à l'autre angle adjacent GIO

+ K N = FC

par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle GOI. Donc leurs côtez sont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG = FC, étant paral leles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc KN = FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il restera FK =CN = DL.

Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, S; FO, ou CG ou NR, z; NF ou RO fera f—c, & DR, d—z; les triangles semblables DRO, OFK donneront d-z (DR).f-c (RO) :: z (OF). c (FK); donc cd-cz= fz-cz, ou cd=fz. Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, z diminue, ou au con. traire, & qu'on peut augmenter / à l'infini, z diminuera aussi à l'infini; c'est pourquoi les lignes CH, & CK font les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

= c &

L'équation cd = fz peut aufsi se résoudre par le cercle. FIG. 68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA sera pris à volonté, si on mene la corde A B, dont AD DB = d, & que par le point D qui sépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED sera égale à z, & DG égalera s. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on voudra, il est manifeste que z & saugmenteront à l'infini,

COROLLAIRE I.

F16. 67. 1. I L est clair que tous les rectangles semblables à CF x FO sont égaux entr'eux, puisqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours sz

= cd.

COROLLAIRE II.

2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

qui

i

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les
asymptotes en T & en S, TB sera toujours égale à VS:
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux asymptotes,
l'on aura (Corol. 1.) CX x XB = CQ × QV, ou (en
nommant CX, d; XB, c; CQ, S; QV, Z; ) z=cd,
ou fz-cz=cd - cz, qui étant changée en analogie,
donne d - 2. - c :: z. c d'où il fuit par la Démon-
stration de cette Proposition que XB = QS; donc TB

= VS.

COROLLAIRE III.

3. IL est clair que les parallelogrammes CD, CB, CO,
CV sont égaux entr'eux.

COROLLAIRE IV.

4.SI l'on avoit nommé NF, ou Ro, f, l'on auroit eu
[z=cd - cz, qui montre que lorsqu'une équation à
l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéter-
minées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des
asymptotes.

COROLLLAIRE V.

5.IL est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole
par un point fixe, comme D, les points O que l'on
trouve en faisant KO = DI peuvent servir à en trouver
d'autres comme B, & Bà en trouver d'autres comme
V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

6. EN supposant les mèmes choses que dans la premiere FIG. 67.
Propofition, si l'on mene par le sommet C de l'angle des
asymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre OG &
DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que
le rectangle CM × CN, ou CM × LD est égal au rectangle
CP x CF, ou CP × GO.

:

Ayant nommé les données CL, d; CN, c; CM, a; & les indéterminées CF, ou GO, S; CG, ou FO, z; CP, u. Il faut prouver que ac = uf.

DE'MONSTRAΤΙΟΝ.

A Caufe des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CM :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: z. u; donc du = az: mais (Prop. 1.) sz=cd, d'où l'on tire z= ; mettant donc cette valeur de z dans l'équation précédente, l'on aura fu = ac. C. Q. F. D.

cd

( On peut encore démontrer cette Proposition en cette forte. A cause des paralleles DM, OP, l'on a CL.CG:: CM.CP ; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente sz=cd, en la place de d (CL) & de z (CG) leurs proportionnelles a (CM) & u (CP), l'on aura fu

= ac.

PROPOSITION III.

Problême.

'F1G. 69.7. UNE Hyperbole MBm, dont les asymptotes font CT; &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles aux asymptotes, soit prise IT = CI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATION.

PAR l'Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B; & parceque CI=IT, TB sera aussi = BH; d'où il suit que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un seul point B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO (no. 2.) = BT seroit = BH. ce qui est impossible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D.

2

COROLLAIRE I.

8. IL est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les asymptotes en T & H, sont divisées en deux également par le point touchant B.

COROLLAIRE II.

9. IL fuit aussi que si la position de la tangente TBH, est telle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI font égaux, le parallelogramme GI sera un rhombe; & partant CI=CG; donc CT (n°. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

10.IL suit encore que si l'angle des asymptotes HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point touchant B fera =BH = BT ; fi cet angle est aigu, CB furpassera BH, ou BT; s'il est obtus CB sera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point C sera sur la circonférence si l'angle HCT eft droit; hors du demi cercle, s'il est aigu; & dans le demi cercle, s'il est obtus; donc au premier cas CB = BH ou BT; au second, CB, furpasse BH, ou BT; & au troisieme, elle est moindre.

COROLLAIRE I V.

11.IL eft encore manifeste que les lignes LK, Mm paralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en I par la droite CB prolongée, car puisque BH.⇒ BT, PL fera = PK: mais (no. 2.) ML=mK; donc PM Pm.

!