Si l'un des termes eft pofitif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on n'aura jamais le figne de après avoir élevé une quantité negative à une puiffance paire : par exemple — a élevé à une puiffance paire p donnera toujours+a, & jamais — a3:

=

Si l'expofant de l'inconnue eft un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui eft pofitive, lorsque les deux termes des équations font pofitifs; negative lorfqu'un d'eux eft negatif, toutes fes autres racines font imaginaires : par exemple, de x'=a', on tire x = a,& non pas x- a, & de x' ——a', on tire x ——a & non pas xa; car le cube d'une grandeur positive est toujours pofitif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif. Et en general de x1=+aa (q lignifie un nombre impair) on tire x+a; de même, de x-a1 on tire x=——a: car+a élevé à une puiffance impaire q donne +aa:&—a élevé à une puissance impaire q donne touJours a?.

On fera les mêmes raifonnemens fur les équations compofées par exemple xxaa + bb donne x = + Vaa+bb, xx=aa—bb donne x=+Vaa—bb: mais en ce cas fi b furpaffe a, les deux valeurs de x feront imaginaires, xx=+ax bb donne x= =+= a+V÷aa+bb:car en transposant l'on aura xxax=bb; & ajoutant aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xxFax+1aa=aabb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x 1 a = + √ / aa bb, ou x= = + ÷ ÷ a± √ ¦ ¦ aa+bb. Il en est ainfi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce dernier exemple, & dans les femblables, bb a le figne de & que b furpaffea, la valeur de x sera imaginaire, car puifque la quantité aa — bb qui eft fous le figne radical, eft alors negative vaa―bb sera une quantité imaginaire ; & par consequent auffi +¦ a±

Laa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée par addition ou fouftraction avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

par

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé le plus haut degré, ou ce qui eft la même chofe, par la plus haute puiffance de l'inconnue, qui fe trouve dans l'équation qui fert à le réfoudre, en fuppofant que cette équation foit réduite à fon expreffion la plus fimple. De forte que lorfqu'en réfolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimenfion : comqui est une équation du premier degré, le

me x

ab

2

Problême eft appellé fimple.

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimenfions: comme xxax+bb, qui est une équation du fecond degré, le Problême eft nommé plan. A es

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimenfions, comme — aab, ou x*—ab, qui font des équations du troifiême & du quatriême degré, le Problême eft nommé folide.

Lorfqu'on vient à une équation où l'inconnue eft élevée au-delà du 4° degré, le Problême eft nommé lineaire.

5. Quand une équation déterminée a tous fes termes, le nombre en eft plus grand de l'unité, que Pexpofant de la plus haute puiffance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainfi une équation du fecond degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troisième de gré, n'en peut avoir que quatre, une du quatrième, cinq; & ainfi des autres.. Mais il y manque fouvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plufieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, eft celui oùr Pinconnue eft élevée à une puiffance plus haute que dans tout autre terme. Le fecond, eft celui où elle eft moins élevée d'une dimension. Le troifiême, celui où elle eft moins. élevée de deux dimenfions; & ainfi de fuite. Le dernier, eft celui où elle ne fe trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il fe rencontre fouvent dans une équation des termes complexes, ou compofez de plufieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par qui font ceux où l'inconnue fe trouve élevée à la même puiffance, ou bien ceux où elle ne fe trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx-bxx+ cxx, ou abb — bcc+d', ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équa tion feul dans le premier membre, & tous les autres dans le fecond, felon leur ordre, ou bien on les égale tous à zero, en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre, & en écrivant o feul dans le deuxième, en obfervant que le premier soit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante.

DES EQUATIONS INDETERMINE'ES. III.LES équations où il fe rencontre deux lettres in connues, qu'on appelle auffi équations locales, fervent à conftruire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, fervent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre ; pour cela qu'on eft obligé d'affigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant enfuite comme donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre.

c'est

Et comme on peut affigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une après l'autre; l'autre inconnue en pourra auffi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi 'differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,

on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée ; & par confequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, réfoudre, ou plutôt conftruire un Problême indéterminé, c'eft conftruire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. LEs valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent fouvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x-b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent

point exceder la grandeur donnée 6, autrement celles de x feroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x-b-bo. Dans cette équation xx = az — yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puifque tout le fecond membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait ya, l'on aura xx=aa-aa=0, & fi l'on faifoit y=o, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation ax = by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne fasse y=o, auquel cas l'on aura axo, ou x =

2.

=

THEOREM E.

O.

SI I l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles - mèmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

DEMONSTRATION.

SOIT l'équation ay=bx, en la réduifant en Analogic l'on a a. b:: x. y; foit prefentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe, & ayant pris fur AH l'interFIG. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée 6, qui fafse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b:: . y, en quelque endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui eft la même chofe, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle de y fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG eft le lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être refolu par l'équation propofée aybx. C. Q. F. D.

COROLLAIRE. I.

3. SI l'équation propofée étoit déterminée, comme ay =bc, = bc, ce feroit toujours la même chofe, excepté que la lettre qui tient la place de x, eft conftante; ainfi ayant FIG. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le feul point E qui réfout le Problême, puifque AD ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, font de même genre; puifqu'elles fe conftruisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.