PROPOSITION IV. 12. UNE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'angle des asymptotes. Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune = a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les asymptotes CT & CH. DE'MONSTRATION. ELLE est évidente par la premiere Proposition, PROPOSITION V. Theorême. FIG. 69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT font les asymptotes; soit aussi par un point quelconque B, menée (no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M &m, & les asymptotes en L & K. Je dis que CP2 — CB. PM :: CB2. BH2, ou ce qui revient au mème, ayant prolongé BC en A, & fait CA =CB, que APX PB. PM:: AB'. ΤΗ2, : Ayant mené BI, BG, mQ & m paralleles aux asymptotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, b; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm,f; CN ou Qm, z; AP sera x+a, & BP, x xa. Il faut prouver que xx - aa. yy :: aa. bb:: 4aa. 4bb, 1 DEMONSTRATION. Les triangles semblables CBT, CPK donnent CB a bx bx a (a). BT (b) :: CP (x). PK = b; donc mK = a le second par le second, l'on a bbsz= bbcdxx aa par la premiere Proposition sz=cd; donc bb cdyy : mais yy, en divisant par les quantitez égales sz, & cd; d'où 14. IL est évident (Art. 9. no. 7, 11 & 12), & par cette même Article n°. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole MBm, que A B est l'axe; fi l'angle CBH FIG.70. est droit; autrement AB est nommée diametre déterminé; que DE parallele & égale à HT est l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que F P est le parallelogramme des coordonnées. COROLLAIRE I I. FIG. 70. 15. L'ÉQUATION precedente xx - aa = donne 66. x = ± √bb + yy, qui fait voir que si l'on prolonge MF en N; en forte que FN=FM, le point N fera à l'Hyperbole; & fi l'on fait y = 0, la ligne MN se confondra avec la ligne AB, le point F avec le point C, & l'on aura x = +a, d'où il suit que le point M se confond avec le point B, & le point N avec A ; de forte que CA=CB, & que le point A sera à l'Hyperbole. a Si dans la même équation on fait x = 0, ayant mené NO parallele à DE, ou à PM, les points P & Q se confondront avec le point C, & l'on aura y= + √-bb. Or parceque les valeurs de y font imaginaires; il suit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire aussi de la même équation y = + √xx - aa; il suit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, NQn des deux côtez de AB, tant que x (CP, ou CQ) furpasse a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorsque CP = CB, ou x=a : car xx devient aa - aa = 0; 0; & par conféquent y =+√xx - aa = 0 ; & que lorsque les points P & Q tombent entre A & B, c'est-à-dire, lorfque a furpassex, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : car la quantité xx aa devient negative, & par conféquent les valeurs de y aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx-aa= fait voir que x (CP, ou CQ) = + √ xx aayy aa croiffant, y (PM, ou QN) croît aussi; c'est pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolongé de part & d'autre à l'infini : car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm & NAn opposées l'une à l'autre, qui ne se rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce sont ces deux parties de I'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles opposées. 16. IL est clair que les Hyperboles opposées sont égales & semblables; puisque les coordonnées NF, NQ de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre. COROLLAIRE. IV. 17. I L est aussi manifeste que les Asymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées vers g, & versk, font aussi les Asymptotes de l'Hyperbole opposée NAn; puisque Nk & ng, sont toujours égales à mK & ML. COROLLAIRE V. 18. IL est encore évident que la ligne hAt menée par le point A parallele à DE, ou HT; & qui rencontre les Asymptotes en h &t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A; puisqu'elle est divisée en deux également en A, comme HT l'est en B; & que CA =CB.. COROLLAIRE VI. bx bx 19. L'ONa (no. 12.) ML=-y, & MK=+y; bbxx aa a bx a bx a l'on a aussi (no. ( no. 13.) bb-yy-yx+y, qui montre que BH2 (bb) = KM × ML. COROLLAIRE VII. 20. L'ON tire de l'équation à l'Hyperbole xx - aa = ay ayy cette autre équation aa=xxx-xx+ 66 aayy ay b & MO = x + ay ay mais GM = x : car les trian b b gles semblables HBC, CFG donnent HB (b). BC (a) :: CF ou PM (y). FG = ; & partant GM ay OM x MG (xx - y).=CB' (aa). X DEFINITIONS. = FM d'où il fuit que 21. SI l'on décrit (Prop. 1.) dans les angles HCt, TCh par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles opposées RDS, ref, ces Hyperboles feront nommées conjuguées aux Hyperboles opposées MBm, NAn. COROLLAIRE VIII. 22. IL eft clair que les lignes Ht, Th passeront par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, ref, puisqu'elles y font divisées par le milieu, comme AB, à qui elles sont paralleles & égales, l'est en C. COROLLAIRE IX. 23. D'où il fuit que DE & AB font les axes conjuguez des Hyperboles RDS, ref, fi De est perpendiculaire à AB; autrement, elles en sont deux diametres conjuguez. AVERTISSEMENT. 24. I L n'est point necessaire de démontrer que les Hyperboles RDS, rEf, ont les mèmes proprietez que les Hyperboles MBm, NAn; puisque ce ne seroit qu'une répétition inutile. DEFINITION. |