EI +10=f+; & BN (d). BC (a) :: MI (2). MO CZ d =. Enfin les triangles semblables EOM, ECL donnent [+(EO).(OM)::2f(EC). t (CZ), d'où l'on tire 2afz cd t= : mais (Prop. 1.) Sz = cd, & f= -, df+cz c'est pourquoi en mettant ces valeurs de f& de sz dans celle bdx ab zadz dd+zz ; mettant donc cette valeur de z, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura 2aabbx - 2a3by : mais après les réductions t = aabb + bbxx - zabxy + aayy aa I. COROLLAIRE 32.IL est clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné sur l'Hyperbole, mener une tangente fans le secours des asymptotes, en prenant CL troifiéme proportionnelle à CP & à CB. COROLLAIRE II. . aa : 33. SI de CP (x) l'on ôte CL ("), l'on aura PL= *** pour l'expreffion de la foutangente PL. 34. COROLLAIRE III. SI de CB (a) lon ộte CL *, ou fi Pon suppose que CP (x) devienne infi i : niment grande, le point touchant M sera infiniment éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expression de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, l'on aura BL= = a; d'où il suit que le point Z tom ax be en C, & la tangente LM devient Ce qui est l'asymptote de l'Hyperbole. PROPOSITION VIIL Theorême. FIG. 72. 35. UNE Hyperbole BM, dont C est le centre; AB DE, les axes conjuguez, étant donnée; fi l'on fait CF & CG. chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris sur l' Hyperbole, les droites MF, MG, & (no. 32.) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMG. Ayant mené l'appliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CF, ou CG, ou BD, c; MF, 2; MG, S; CP, × ; PM,y; PF fera, x-c; PG, x + c; & CL (n°. 31.) -, donc FL aa aa cx aa , ou, &GL=c+ 4, ou x + an 20 Il faut prouver que MF (2). MG (f) :: FL () cx+aa GL (+) :: cxaa. cx + da. DEMONSTRATION. LEs triangles rectangles FPM & GPM donnent A. xx 2cx+cc+yy=ㄍ, & B. xx + 2cx+cc+yy = ff: mais (Prop. 4.) mettant donc cette valeur de 66 dans cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines ad= az, & cx + aa af:: z. S. C. Q. F. D. = af; donc cx ,CX. -aa. cx + aa:: az COROLLAIRE 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F. 1 DEFINITION. 37. LEs points F & G sont appellez les foyers de l'Hyper bole, Où l'on donne la méthode de résoudre les Problémes indéterminez du premier & du fecond degré c'est-à-dire, de construire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipse & l'Hy. perbole. XV. Lies MÉTHODE. vû dans les Sections précédentes 10. Que les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorsque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay ou x = y; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous les points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, la construction du Problême se trouve faite. = bx 2o. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax =yy; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que lorsqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet d'un diame. tre. 3°. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes, deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troifiéme est entierement connu, comme aa Xx |