4 faisant donc x - y = z, l'équation se réduira à zz リク + by = 0: mais la réduction a fait naître un premier terme yy qui a pour second by; c'est pourquoi en transposant pour donner à yy le figne +, l'on a zz = yy - by, & faisanty-b = a; l'équation se réduira à zz = uu +bb, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues & u ont leur origine au centre. x-y - aa + 2yy 7. SO IT xx- au 2xy aa + 2yy, 2yy &c, elle appartien Si dans l'équation à réduire xx — lieu de zyy, il y avoit - yy, ou droit à l'Hyperbole dont les diametres ne font point égaux; s'il y avoit + 3yy ou + 4yy &c, elle appartiendroit à l'Ellipfe ; & fi au lieu de 2yy, il y avoit + by + yy, elle appartiendroit à la parabole. EXEMPLES. Des réductions en changeant les produits compofez en produits simples. ON réduit en changeant les produits composez en des produits simples, toutes les équations où il n'y a point de quarrez inconnus, qui sont celles qui appartiennent à la ligne droite, ou aux asymptotes de l'Hyperbole; celles où il n'y a qu'un quarré inconnu sans le produit des inconnues, qui appartiennent toutes à la parabole; & celles où il n'y a qu'un quarréinconnu avec un produit des deux inconnues, qui appartiennent toutes à l'Hyperbole. On pourroit aussi réduire ces dernieres, en faisant évanouir le fecond terme, comme on a fait (no. 6.) auquel cas elles appartiendroient aux diametres de l'Hyperbole: mais en les réduisant en changeant les rectangles composez en de simples, elles se rapporteront aux asymptotes. Toutes ces équations ne feront point entièrement réduites par cette seconde maniere de réduction, que lorsqu'elles ne renfermeront que deux termes. EXEMPLÉ V. 8. SOIT l'équation, x + y = a, ou x=a-y, -y, en faisant a-y=z, l'on aura x = x qui est un lieu à la ligne droite. Si l'on fait x + y = z, l'on aura z=a, qui est aussi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne se doivent pas trouver dans une réduction quand on peut faire autrement. Soit l'équation x - y = a - c, ou x = a -c+y: en faisant a - c+ y = z, l'on aura x = 2. IT EXEMPLE VI. 9. SO I T l'équation ax -by= aa, ou ax = aaby, où ax = bc + by, en mettant be pour aa, ayant faito+y = x, l'on aura ax = bx, qui est un lieu à la ligne droite. = EXEMPLE VII. = 10. SO IT l'équation ax - xy = by, en faisant a -y z, l'on ay a- ; & mettant cette valeur de y dans l'équation à réduire, l'on aura xz = ab - bz qui a encore trois termes; c'est pourquoi, en transposant, l'on a bz=ab: & faisant b=u, l'on a uz = ab, qui eft une équation aux asymptotes de l'Hyperbole. x2+ x+ EXEMPLE VIII. 11.SOIT abx = bcy + axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue; c'est pourquoi en divisant toute l'équation par a, l'on aura bx = bcy + xy, & faisant bc bc -+x=z, l'on a x=--, & mettant cette valeur bbc de x dans l'équation à réduire, l'on aura bz bbc ticle 22. n°. 9. ou bz-zy=- ; & faisant encore b - y = u, l'on aura bbc a zu = -, qui est un lieu aux asymptotes de l'Hyberbole. 12. a EXEMPLE IX. SOIT l'équation xx - ax = by, pour faire évanouir le second terme, on ferax-a=7, & l'on aura aa=by, ou = aa aa + by, ou X=bc + by, en mettant be pouraa, & faisant encore c + y = u, l'on aura = bu, qui est un lieu à la parabole dont le parametre est b. EXEMPLE Χ. 13.SO IT l'équation xx + xy = ab. On peut réduire cette équation en faisant évanouir le second terme, & elle se rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car faisant x+y=7, l'on aura zz-yy = ab, ou zzab=yy. Mais parceque xx + xy = x x x + y, en faisant x+y=z, l'on aura zx = ab qui se rapporte aux afymptotes. EXEMPLE XI. 14. SOIT a fait la précédente; car en transposant, l'on a xx = by Voyez l'ar- + xy; & faisant x + b=z, l'on ax=z-b, & mettant cette valeur dex dans l'équation à réduire, l'on aura zz 262+66 zy, ou zy +262-22=6b, & faifant y + 26 - z=u, l'on aura uz = bb, qui se rapporte aux asymptotes. = CONSTRUCTION CONSTRUCTION DES REDUCTIONS. XVI. EN réduisant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus simples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'est par le moyen de ces Rédutions que l'on construit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la construction en particulier pour avoir plus de facilité à construire les autres. Toutes les Réductions se peuvent rapporter à quelqu'une des fix Formules suivantes, où a, b & c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou incomplexes. 1. x±a=z 2. a-x= 3. xy= 4. x±7=% CONSTRUCTION De la premiere Formule x + a Z. 1. SO IT A le point fixe, ou l'origine des inconnues x, F16.73. qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être selon les qualitez du Problême, dont on suppose ici que l'on fait la construction. 1o. Si la Réduction est x + a = z, il est clair que la construction se doit faire fur la ligne AH exprimée par x, & que pour avoir sur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à z, il faut prolonger AH du côté de A en C, en forte que AC = a: car l'on aura alors CA + AH + x = 2; & ainsi le point C sera alors l'origine, ou le commencement de z qui va vers H, & de y qui va versg, en demeurant toujours parallele à AG, de sorte que s'il n'y avoit point de Réduction pour y, le point C seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de construire est une Réduction. T =a + FIG.74. 2. Si la Réduction est x-a=z, l'on prendra le point C du côté de H par raport à A, & l'on fera AC=a;& le point C sera le commencement de & qui va toujours vers H, & de y qui va vers g parallele à AG; car alors z; & s'il n'y avoit point de réduction pour y, le point C seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite. AH AC CH= = =x a= FIG.73. 3. Mais si dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les 74. deux Cas précédens, il y a une réduction pour y semblable à la précédente, par exemple, y + b = u l'on fera fur Cg ce que l'on vient de faire fur AH, c'est-à-dre, que s'il y a y + b = u, on prolongera Cg en O, & s'il y a y-b=n, l'on retranchera Co de Cg, en faisant CO, ou Co = b; & le point O, ou o sera l'origine des inconnues de l'équation réduite a qui va toujours vers g, & z qui va vers M, ou m parallele à CH; de sorte que les nouvelles inconnues z& u font le même angle au point 0, ou o que les premieres x & y au point A, qui est leur origine. De CONTRUCTION la seconde Formule a -X= Z. 4. L'On voit par la seule inspection de cette Formule que les deux inconnues & & & sont ensemble égales à la FIG. 75. grandeur a; c'est pourquoi A étant le commencement de x qui va vers H, ayant pris sur A H l'intervalle AC = a, le point C sera le commencement de z, qui en ce cas va vers A, & de y qui va vers g parallele à AG: car si l'on prend librement un point Dsur AC; AD étant x, CD sera a – x = x; & le point D n'étant point fixe ne peut être l'origine de z; c'est pourquoi puisque x a fon origine au point A, & commencera nécessairement au point fixe C, & ira par consequent vers A. 5. S'il y a encore une Réduction pour y semblable à une des deux premieres Formules, on la construira comme on a fait les précédentes. |