CONSTRUCTION De la troisième Formule x + y = 2. 6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux = x 1 Supposons dans cette Formule que y étoit multipliée, par x dans l'équation à réduire ; & soit A le point fixe où F 16. 76. commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec AG un angle quelconque GA H. Si outre la Formule que l'on construit, il y a une reduction pour y, elle sera semblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle sera y + b = a, & on la construira comme les précedentes en prenant sur AH, prolongée ou non prolongée felon qu'il y a y + b, ouy-b, la partie AC, ou AD=b, & l'origine de l'inconnue u sera au point C, s'il ya y+b=1; au point D, s'il y a y-b=u, & ira vers H dans l'un & l'autre cas: mais s'il ya b-y=", le point D sera l'origine de a qui ira vers A. Cela pofé. Si la Réduction est x+y=z, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF = BE + EF (Const.) AE + EF sera = x+y = z, & le point A sera l'origine des trois inconnues x, y & z. Mais s'il y avoit une Réduction pour y telle que celle qu'on vient de construire, l'origine des inconnues u parallele à AH & z parallele à AG, seroit au point O ou P, où la ligne AB rencontreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire font à present AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF. Si la Réduction croît x-y=z, les points B, O & P seroient de l'autre côté de AH. 7. ELLE est la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EB = AE, il faut prendre EB telle que EB. EA :: a. b: car BF=EF+ EB = x+7=& CONSTRUCTION De la cinquième & fixième Formule x+y+b=z, 8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de + b, & de + c; c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x + y, & x + 7, F16.76. on prendra sur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a + b, ou + c) AI=b, ou = c; & l'on menera par I la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=z, ou x+17+c=z, & le point I fera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y : mais s'il y a une réduction pour y, le point Lou M sera l'origine des inconnues u & z; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, sont presentement IK & KF, ou LK & KF, ou MK & KF. L'on a supposé qu'il y avoit + dans les deux réductions que l'on vient de construire : mais il n'est pas plus difficile de les construire, en supposant qu'il y a par tout -, ou + & -, ou - & + : car cela ne peut que changer la position des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH ; & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles. CONSTRUCTION Des équations, ou des lieux à la ligne droite. XVII. AU lieu de proposer simplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à résoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & ensuite la Démonftration. PROBLEME INDÉTERMINÉ. 1. UN angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans FIG. 77 Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui est une équation à ligne droite, & qui fournit cette construction. Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui satisfont au Problême. DEMONSTRATION. Ne parallele AYANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un parallelogramme, l'on aura toujours QN = AB, ou x = a. C. Q. F. D. Tiij J 1 PROBLÉME INDÉTERMINÉ. F1 G. 78. 2. UN angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient ensemble égales à une ligne donnée KL. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP, x & PM, y; l'on aura par les qualitez du Problême x +y=a, ou y = a - x, qui eft une équation à la ligne droite: mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a – x = 2 : ce qui réduit l'équation à celle-ci y = z, qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction. Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême. DEMONSTRATΙΟΝ. A Cause de la réduction a-x=z, AB étant nommée a, & AP, x; BP fera a – x ou z, dont l'origine est (Art. 16. no. 4.) en B, & qui va vers A. Or puisque (Conft.) AB=AC & PM parallele à AC, PM sera égale à PB; c'est pourquoi AP +PM, ou AP+PB= KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C.Q.F.D. PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 79. 3. DEU X lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de position. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME soit à AP, ou à BE dans la raison donnée de màn. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x, : = ny PM, y; EM sera y a ; & l'on aura par les conditions DE'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque & pris fur CONSTRUCTION Des Equations ou des lieux au cercle. PROBLÉME INDÉTERMINÉ. : XVIII. UN E ligne AB étant donnée de grandeur & de FIG. 80. position. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarre de MB dans la raison donnée de m à n. र |