CONSTRUCTION De la troifiéme Formule x+y=Z. 6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux Suppofons dans cette Formule que y étoit multipliée, : y a Si la Réduction eft x+y=z, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF ➡ BE + EF — ༢ (Const.) AE+ EF sera =x+y=z, & le point A fera 7. ELLE eft la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EBAE, il faut prendre EB telle que EB. EA :: a. b:car BF — EF+ EB = x+7/= 2; = CONSTRUCTION De la cinquième & fixième Formule x±y±b=z, 8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de +6, & de +c; c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x ±y,& x+%/%, FIG. 76. on prendra fur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a + b, ou+c) AĬ =b, ou = c; & l'on menera par I la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=2, ou x+%/+c=2, & le point I fera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y mais s'il y a une réduction pour y, le point Z ou M fera l'origine des inconnues u & z; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, font prefentement ༢; IK & KF, ou LK & KF, ou MK & K F. L'on a fuppofé qu'il y avoit dans les deux réductions que l'on vient de conftruire : mais il n'est pas plus difficile de les conftruire, en fuppofant qu'il y a par tout—, ou + & ou &+: car cela ne peut que changer la pofition des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles. CONSTRUCTION Des équations, ou des lieux à la ligne droite. XVII. Au lieu de propofer fimplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à réfoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & enfuite la Démonftration. I. PROBLEME INDÉTERMINÉ. UN N angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans FIG. 77; un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM foit égale à une ligne donnée AB. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui eft une équation à ligne droite, & qui fournit cette conftruction. Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui fatisfont au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un parallelogramme, l'on aura toujours QNAB, ou x= a. C. Q. F. D. T iij T PROBLEME INDÉTERMINÉ. F1 G. 78. 2. ỤN angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL. FIG. 79. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP ̧x & PM, yi l'on aura par les qualitez du Problême x + y = a, ou y = a — %, qui eft une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a ― xz : ce qui réduit l'équation à celle-ci y=<; qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction. Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême. mée a, DE'MONSTRATION. A Caufe de la réduction a — x=z, AB étant nom& AP, x; BP fera a—x ou z, dont l'origine eft (Art. 16. no. 4.) en B, & qui va vers A. Or puifque ( Const. ) A B = AC & PM parallele à AC, PM fera égale à PB ; c'est pourquoi AP+PM, ou AP+PB: KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C.Q.F.D. PROBLEME INDÉTERMINÉ. 1 = 3. DEUX lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la don née AB; ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x, PM, y; EM fera y DE'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque N pris fur BI, la droite NQR parallele à AG, ou à CD, les triangles femblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: x. z; donc mx = nz ou mx ny―na, en mettant pour z fa valeur y-a, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F.D. = CONSTRUCTION ༢; Des Equations ou des lieux au cercle. XVIII.UNE ligne ÁВ étant donnée de grandeur & de F16. 80. |