CONSTRUCTION

De la troifiéme Formule x+y=Z.

6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux
inconnues x & y de l'équation à réduire, viennent des
équations où les mêmes inconnues font multipliées l'une
par l'autre dans quelque terme, & où l'une des deux, ou
toutes les deux font quarrées. Or pour ne point fe trou
ver embarrassé dans la conftruction de la Réduction, la
lettre inconnue de la Réduction qui eft multipliée par l'au-
tre inconnue dans l'équation à réduire, doit être con-
ftruite la premiere; par exemple, fi l'équation à réduire
est xx—xy = ab; soit qu'on fasse x-y=z, pour faire
évanouir le fecond terme, foit qu'on fasse x-y=z pour
changer le rectangle compofé xx-
xxxy, en un fimple xz,
il faudra toujours conftruire y la premiere.

Suppofons dans cette Formule que y étoit multipliée,
par x dans l'équation à réduire, & foít A le point fixe où F 1 G. 76.
commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va
vers H, & qui fait avec AG un angle quelconque GAH.
Si outre la Formule que l'on conftruit, il y a une redu-
ction pour y,
elle fera semblable à une des deux préce-
dentes, c'est-à-dire, qu'elle fera y+bu, & on la con-
ftruira comme les précedentes en prenant fur AH, pro-
longée ou non prolongée felon qu'il y a yb, ouy-by
la partie AC, ou AD=b, & l'origine de l'inconnue z
fera au point C, s'il y a y+b=u; au point D, s'il
y-bu, & ira vers H dans l'un & l'autre cas mais
s'il y a by-u, le point D fera l'origine de z qui ira
vers A. Cela pofé.

:

y a

Si la Réduction eft x+y=z, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF ➡ BE + EF —

༢

(Const.) AE+ EF sera =x+y=z, & le point A fera
l'origine des trois inconnues x, y & z. Mais s'il y avoit une
Réduction
pour y telle
telle que
celle qu'on vient de construi-
re, l'origine des inconnues u parallele à AH & z paral-
lele à AG, feroit au point 0 ou P, où la ligne AB ren-
contreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de
forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire
font à present AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF.
Si la Réduction croît x-y=z, les points B, O & P
feroient de l'autre côté de AH.

7. ELLE eft la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EBAE, il faut prendre EB telle que EB. EA :: a. b:car BF — EF+ EB = x+7/= 2;

=

CONSTRUCTION

De la cinquième & fixième Formule x±y±b=z,
ay
& x+=+c=z.

8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de +6, & de +c; c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x ±y,& x+%/%, FIG. 76. on prendra fur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a + b, ou+c) AĬ =b, ou = c; & l'on menera par I la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=2, ou x+%/+c=2, & le point I fera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y mais s'il y a une réduction pour y, le point Z ou M fera l'origine des inconnues u & z; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, font prefentement

༢;

IK & KF, ou LK & KF, ou MK & K F.

L'on a fuppofé qu'il y avoit dans les deux réductions que l'on vient de conftruire : mais il n'est pas plus difficile de les conftruire, en fuppofant qu'il y a par tout—, ou + & ou &+: car cela ne peut que changer la pofition des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles.

CONSTRUCTION

Des équations, ou des lieux à la ligne droite.

XVII. Au lieu de propofer fimplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à réfoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & enfuite la Démonftration.

I.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

UN N angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans FIG. 77; un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM foit égale à une ligne donnée AB.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui eft une équation à ligne droite, & qui

fournit cette conftruction.

Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui fatisfont au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un parallelogramme, l'on aura toujours QNAB, ou x= a. C. Q. F. D.

T iij

T

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

F1 G. 78. 2. ỤN angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL.

FIG. 79.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP ̧x & PM, yi l'on aura par les qualitez du Problême x + y = a, ou y = a — %, qui eft une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a ― xz : ce qui réduit l'équation à celle-ci y=<; qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction.

Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême.

mée a,

DE'MONSTRATION.

A Caufe de la réduction a — x=z, AB étant nom& AP, x; BP fera a—x ou z, dont l'origine eft (Art. 16. no. 4.) en B, & qui va vers A. Or puifque ( Const. ) A B = AC & PM parallele à AC, PM fera égale à PB ; c'est pourquoi AP+PM, ou AP+PB: KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C.Q.F.D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

1

=

3. DEUX lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la don née AB; ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x,

PM, y; EM fera y
EM fera ya ; & l'on aura par les conditions
du Problême y-a.x:: m. n; donc mx = ny — na ; &
comme l'on ne peut point trouver une feconde équation,
il fuit que le Problême eft indéterminé : & le lieu qui
renferme tous les points qui fatisfont au Problême eft une
ligne droite, puifque dans l'équation mx = ny-na, les
inconnues x & y n'y font multipliées, ni par elle-mê-
me, ni entr'ellés. Pour réduire cette équation à deux
termes, je fais y a=2, & mettant z dans l'équation
pour ya, l'on a mx = nz qui donne cette construction.
A étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui
va vers H, & y qui va vers G, à caufe de la réduction y
a = 2, le point B devient l'origine des inconnues x
qui va vers K, & qui va vers G, soit pris BC=n, &
mené par C la droite CD parallele à BG &=m. Je dis
que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D
fatisfait au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque N pris fur BI, la droite NQR parallele à AG, ou à CD, les triangles femblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: x. z; donc mx = nz ou mx ny―na, en mettant pour z fa valeur y-a, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F.D.

=

CONSTRUCTION

༢;

Des Equations ou des lieux au cercle.
PROBLEME INDÉTERMINÉ.

XVIII.UNE ligne ÁВ étant donnée de grandeur & de F16. 80.
pofition. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte
qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne
AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarré
de MB dans la raifon donnée de m à n.