Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées AP, x; & PM, y; PB fera a - x; MA2, xx + yy, & MB2, аа — 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problême xx + yy. 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx + nyy 2max + mxx + myy, ou en supposant que furpasse 2max + maa + myy - yy + yy = 0, en divisant par m = maa aa n, , mxx = 0, ou xx 2max - nxx m-n + maa m-n m-n; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il suit que le Problême est indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes signes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par x & y font un angle droit ; il suit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui est la même chose, que tous les points qui fatisfont au Problême sont à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver : mais comme il y a un second terme dans l'équation, il est clair (Art. 12. no. 14.) que le point A qui est l'origine des inconnues x & y n'est point le centre de ce cercle ; pour le trouver il faut faire évanouir le second terme; pour ce sujet, je fais x l'équation à celle-ci yy = mnaa ma m-n mm-2mn+nn z, qui réduira zz; car ayant substitué z+ -, valeur de x & fon quarré dans l'équation ma m-n mna 2 en même dénomination, il restera - yy = 0 2 - zz, où les in connues y & zont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & z, il faut construire la réduction x fait en cette forte. ma m-n z. Ce qui se A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui lui eft perpendiculaire, soit prise AC = le ma m-n point C sera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mnaa : mais le terme connu de l'équation réduite mm-2mnnn est le quarré du demi diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre C & du rayon = Vmnaa m-n. (Dans Vmnaa au lieu de mu, on peut substituer gg. Ainsi au lieu de Vmnaa, on aura Vaaggag. Par consequent Vmnaa ag m-n m-n =CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de sa circonférence fatisferont au Problême. DEMONSTRAΤΙΟΝ. AYANT abbaissé d'un point quelconque M pris sur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD2, ou CE -CP2=PM2, ce qui Donc CE-CP × CE+CP=CE-CP = Vmnaa m-n mnaa m-n Or PM = y. Donc PM = yy : mais zx = xx + mnaa mm-2mn+nn 2 + 2max m-n Mettant donc cette valeur de zz dans l'équation precedente, on aura après les réductions, & transpositions mxx nxx - 2max + maa + myy nyy =0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. A PROBLEME INDÉTERMINÉ.. FIG. 80. I. LES mèmes choses étant supposées que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA soit à MB dans la raison donnée de màn. En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problê me Vxx+yy. Vaa - 2ax + xx + yy :: m. n ; donc n x √xx + yy=mx Vaa-2ax+xx+yy, ou nnxx + nnyy = -2mmax + mmxx + mmyy, ou en supposant que m furpasse n, & divisant par mmaa mm -nn, l'on aura xx - 2ттах+ттаа +yy=0, qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x & y n'est point le centre à - 2ттах cause du second terme ; faisant donc x mm-nn mma mm - nn , pour faire évanouir le second terme, l'équation se V o destitué de second terme : mais réduisant ces termes & 2 2 + yy = 0, où les inconnues x & y ont leur 11. origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou ver ce centre, il faut construire la réduction x = x. Ce qui se fait en cette forte. C mma mm-nm Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui eft perpendiculaire; foit prise AC = au lieu de ma on aura ad m+n mma mm-nn = AC, m2 - n2 m-n m-n d. = AC, fi on fait m -n. m :: m. Par consequent substituant d à la place de -, on a =AC; le point C fera celui que l'on cherche; c'est pourquoi si du centre C, & du rayon = -, qui est la ad m+n mna mm-nn racine du terme connu de l'équation réduite, l'on décrit le cercle DME, tous les points de sa circonférence fatisferont au Problême. Pour trouver CE ou CD = n.m::η. mn mna m2-na il faut faire m =g. Donc substituant g dans l'équation précedente, on aura Puis faisant m+ m-n ag m+n ag mna m2-n2 n.a::g. sera égale à CE ou CD qui sera le rayon cherché. On peut encore trouver plus simplement le centre du cercle en cette forte; puisque mma mm-nn. ; est l'exprefsion de la distance du point A au centre que l'on cherche, si l'on ôte & fi l'on ajoute à cette expression l'expression du demi diametre qui est mma-mna mm nn & l'on aura & divisant les deux termes de la premiere fraction par m - n, & ceux de la seconde par m+n, l'on aura -; prenant donc & AE = , DE sera le diametre du cercle, & par conséquent le point C, qui divise De par le milieu, sera son centre. m+n m-n DEMONSTRATION. 4 AYANT abbaissé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle DP × PE= PM2. Ce qui est en termes Algebriques 2mmnn + n -=yy: car DP=CD-CP; & PE = CD+ CP. Donc DP × PE=CD -CP × CD + CP= 1 : |